Что такое комбинаторика в информатике
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
Правила сложения и умножения в комбинаторике
Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?
Пример 3.
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m (
) из этих (n*r) предметов?
.
Пример 4.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?
Пример 5.
В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?
Пример 6.
У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Пример 7.
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k
Пример 8.
Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
Учебное пособие «Элементы комбинаторики»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края
для студентов специальности
09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»
Основные правила комбинаторики
Соединения без повторений
Размещения без повторений
Перестановки без повторений
Сочетания без повторений
Соединения с повторениями
Размещения с повторениями
Перестановки с повторениями
Сочетания с повторениями
Свойства разложения бинома
Задания для самостоятельного решения
Тест для самоконтроля
Теория вероятностей и математическая статистика – две неразрывно связанные математические дисциплины. В настоящее время их знание необходимо специалистам самых различных профессий. Умение формулировать цель своей деятельности и предпринимать шаги для ее достижения – характерная особенность компетентного, конкурентно способного специалиста, а теория вероятностей и математическая статистика, как никакая другая дисциплина, способствуют позитивным изменениям личности.
Знание закономерностей массовых случайных явлений (предмет теории вероятностей) и важнейших методов и приёмов обработки результатов наблюдений (изучает математическая статистика) необходимо современному программисту при разработке алгоритмов решения практических задач. Изучение же теории вероятностей и математической статистики немыслимо без предварительного знакомства с основами комбинаторики.
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Сегодня комбинаторные методы используются для решения проблем теории информации, задач линейного программирования, для решения транспортных задач и много другого. Комбинаторные задачи представляют богатый материал для изучения основных конструкций, методов и приемов программирования, позволяют показать не только красоту математики, но и возможности новых компьютерных технологий при решении практических математических задач. Задачи дискретной математики, к которым относятся многие задачи практического программирования, часто сводятся к перебору различных комбинаторных конфигураций объектов и выбору среди них наилучшего, с точки зрения условия той или иной задачи. Поэтому знание алгоритмов генерации наиболее распространенных комбинаторных конфигураций является необходимым условием успешного решения задач в целом.
1. Основные понятия комбинаторики
1.1. Понятие о комбинаторике
Опр. Комбинаторика – раздел математики, изучающий различные комбинации элементов, обладающие определёнными свойствами.
(!!) В отличие от множеств комбинации элементов могут содержать одинаковые (повторные) элементы.
1.2. Задача, приводящая к понятию факториала.
Опр. Произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называется п-факториалом и обозначается п!
(!!) Считается, что о! = 1.
(!!) Факториал отрицательного числа не существует.
Пример 1. Вычислите:
Пример 2. Упростите выражение:
1.3. Основные правила комбинаторики
При решении комбинаторных задач часто применяются два важных правила.
Правило сложения: Если некоторый элемент « а » можно выбрать т числом способов, а другой элемент « в » – п числом способов, то выбор элемента « либо а, либо в » можно сделать ( т + п ) числом способов.
Задача 1. В группе 20 девушек и 5 юношей. Каким числом способов можно выбрать старосту?
/ Старостой может быть выбрана одна из 20 девушек или один из 5 юношей, а значит, общее число способов выбора старосты равно 20+5=25 /
(!!) При использовании правила суммы в такой формулировке нужно следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-нибудь способом выбора объекта В. Если такие совпадения есть, то правило суммы утрачивает силу и получается лишь (m+n-k) способов выбора, где k-число совпадений.
/ Английский или немецкий язык знают 49 + 32 – 15 = 66 преподавателей. А значит, не знают ни одного из этих языков 77 – 66 = 10 преподавателей. /
Правило умножения : Если некоторый элемент « а » можно выбрать т числом способов, а затем элемент « в » – п числом способов, то выбор пары « а и в » можно осуществить ( т∙п ) числом способов.
Задача 3. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами это можно сделать?
/ Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, т.е. существует 30 способов выбора старосты. После того как староста уже выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 29 учащихся. Таким образом, одному способу выбора старосты соответствуют 29 способов выбора профорга. Следовательно, общее число способов выбора старосты и профорга равно 30 ∙29 = 870. /
(!!) Правила сложения и умножения имеют место для любого конечного числа элементов.
Задача 4. Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6, если цифры могут повторяться?
/ При составлении трёхзначного числа авс из данных цифр вместо а можно взять любую цифру, кроме нуля (6 возможностей), вместо в можно взять любую из них (7 возможностей), вместо с можно взять любую из цифр 0,2.4.6 (4 возможности). Т.о., согласно правилу умножения, имеем 6∙7∙4= 168 способов составить число, удовлетворяющее условию задачи. /
(!!) Часто при решении комбинаторных задач работают оба правила.
Задача 5. Имеются 20 изделий 1-го сорта и 30 изделий 2-го сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколькими способами это можно сделать?
/ По правилу умножения, два изделия 1-го сорта можно выбрать 20∙19=380 способами. Аналогично. Два изделия 2-го сорта можно выбрать 30∙29=870 способами. Т.к. по условию задачи следует выбрать два изделия одного сорта, неважно какого, то общее число способов выбора изделий одного сорта равно 380 + 870 = 1250. /
Задача 6. Сколько однозначных, двузначных и трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3, если цифры могут повторяться?
/ Очевидно, что из данных цифр можно составить только одно четное однозначное число – 2.
При составлении двузначного числа ав из данных цифр вместо а можно взять любую цифру, кроме нуля (3 возможности), вместо в можно взять взять любую из цифр 0 и 2 (2 возможности). Т.о, согласно правилу умножения, имеем 3∙2= 6 способов составить нужное нам число.
При составлении трехзначного числа авс из данных цифр вместо а можно взять любую цифру, кроме нуля (3 возможности), вместо в можно взять любую из них (4 возможности), вместо с можно взять любую из цифр 0 и 2 (2 возможности). Т.о., согласно правилу умножения, имеем 3∙4∙2= 24 способа составить число, удовлетворяющее условию задачи.
Применяя правило сложения, получим: 1 + 6 + 24 = 31 /
2. Соединения без повторений
Опр. Каждая конкретная комбинация, составленная из элементов данного конечного множества, называется выборкой или соединением .
2.1. Размещения без повторений
Опр. Размещениями из п элементов по т (0) называются соединения, содержащие т различных элементов и отличающиеся или составом, или порядком их расположения .
Обозначение: («а из эн по эм»)
Ясно, что на первое место можно поместить любой из п эл-тов. Т.о., = п .
Если на первом месте стоит один из п элементов, то на второе место можно поместить один из ( п-1 ) оставшихся элементов. А значит, согласно правилу умножения,
Выведем более универсальную формулу, для чего умножим и разделим произведение, стоящее в правой части формулы, на ( п-т)!. Получим:
Задача 7. Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что любая из цифр в написании числа встречается не более одного раза?
По правилу сложения: 5+20+60+120+120= 325 /
2.2. Перестановки без повторений
Так как любая перестановка содержит все п элементов, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.
Задача 8. Сколько существует четырехзначных чисел, состоящих из цифр 1,3,5 и 7 (без повторений).
Задача 9. Сколькими способами можно расставить на полке в один ряд семь книг, среди которых четыре книги разных авторов и трёхтомник одного автора, так, чтобы книги трёхтомника стояли рядом?
/ Если считать трехтомник за одну книгу, то будет 5 книг, которые можно переставить Р 5 = 5! = 120 способами. Т.к. книги трёхтомника можно переставлять между собой Р 3 = 3! = 6 способами, то по правилу умножения, всего возможно 120·6 = 720 перестановок /
2.3. Сочетания без повторений
Опр. Сочетаниями из п элементов по т ( называются соединения т различных элементов, отличающиеся лишь составом (порядок не играет роли).
Обозначение: («цэ из эн по эм»)
Задача 10. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из пяти имеющихся?
Задача 11. В соревнованиях по волейболу участвуют 8 команд. Насколько более продолжительным будет турнир, организованный по круговой системе, чем по олимпийской?
3. Соединения с повторениями
3.1. Размещения с повторениями
Задача 12. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?
Задача 13. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?
3.2. Перестановки с повторениями
Если бы все т элементов были между собой различны, то таких перестановок было бы т! = (т 1 + т 2 + … + т п )! Но так как не все элементы различны, то их будет меньше.
Задача 14. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если 1 встречается 1 раз, 2 – 2 раза, 3 – 2раза?
Задача 15. Сколькими способами можно переставить буквы в слове « математика », чтобы получить всевозможные различные наборы букв?
3.3. Сочетания с повторениями
Очевидно, единиц записано т 1 + т 2 + … + т п = т штук, а нулей – ( п – 1) . Если какой-то элемент не входит в наше сочетание, то вместо соответствующей групы единиц пишется нуль.
Задача 16. Имеются конфеты трёх сортов в коробках. Сколько можно составить различных наборов из пяти коробок?
4.1. Треугольник Паскаля
Формула = имеет несколько следствий:
— при п = 2 и т = 1 получим:
— при т = 4 и т = 3: и т.д.
Если числа расположить в виде следующей треугольной таблицы
то в начале и в конце каждой строки будут стоять единицы, а остальные места могут быть легко последовательно заполнены таким образом, что на каждом месте в каждой строке стоит число, равное сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. Описанная таблица называется треугольником Паскаля. Первые шесть строк его выглядят так:
Числа, стоящие в 3-ей и 4-ой строках треугольника Паскаля, появляются при возведении двучлена (бинома) а + в в квадрат и в куб. Действительно, формулы
Можно доказать, что аналогичные формулы справедливы для любой натуральной степени бинома, т.е.:
Используя знак суммы, эту формулу можно записать так:
Правая часть формулы Ньютона называется разложением натуральной степени бинома .
Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами .
Пример 4. Возведите в 7-ю степень двучлен (х+1).
/ (х+1) 7 = + + + + + + = + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7х + 1 /
4.3. Свойства разложения бинома
Число всех членов разложения на 1 больше показателя степени бинома, т.е. равно п+1.
Сумма показателей степеней « а » и « в » каждого члена разложения равна показателю степени бинома ( п-т+т=п ). При этом показатель степени при « а » в любом следующем члене разложения на единицу меньше, чем в предыдущем, а показатель степени « в » – на единицу больше.
Общий член разложения (обозначим его Т т+1 ) имеет вид:
Т обозначает член разложения, а индекс т+ 1 – его порядковый номер в разложении бинома, считая слева направо. Так,
Задания для самостоятельного решения
1. В президиум избрали 3 человека. Каким числом способов они могут распределить обязанности председателя, секретаря и члена?
2. Сколько всех четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7?
3. Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе чётные цифры?
4. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
5. Сколько существует шестизначных чисел, которые делятся на 5?
6. Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что любая из цифр в написании числа встречается не более одного раза?
7. Любой телефонный номер состоит из пяти цифр. Сколько всего телефонных номеров, не содержащих других цифр, кроме 1, 2 и 3?
8. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зелёные и 4 красные лампочки?
9. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из 4-х пятикопеечных и 4-х десятикопеечных монет?
10. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров в 2 вагона?
11. В кондитерской имеется 5 сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4-х пирожных?
Презентация по информатике на тему «Комбинаторика»(10 класс)
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
Основные вопросы, которые будут разобраны в презентации:
Что такое комбинаторика?
Комбинаторные комбинации
Формулы комбинаторных комбинаций
Факториал числа
Правило произведения
Основательно тему «Комбинаторика» вы изучите на уроках математики. Мы же коснемся только ключевых моментов темы, которые позволят нам понимать принцип решения заданий по информатике, которые, естественно, отличаются от чисто математических!
Описание слайда:
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются
вопросы выбора или расположения элементов множества в
соответствии с заданными правилами.
Описание слайда:
4. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:
1. Название происходит от латинского factorialis — действующий, производящий, умножающий.
3. Факториал активно используется в различных раздела математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе.
Для решения заданий применяется ФАКТОРИАЛ числа
Что это такое?
2. Обозначается n!, произносится эн факториал.
Описание слайда:
Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных комбинаций:
Описание слайда:
Сочетания
Комбинаторные комбинации и формулы
Во всех формулах n- число всех объектов множества,
m- число выбираемых объектов из этого же множества.
Описание слайда:
1. Перестановки
1. Перестановки-это комбинации, составленные из одних и тех же элементов и
отличающиеся порядком их следования, т.е., при перестановках число объектов
остается неизменным, меняется только их порядок.
2. Число всех возможных перестановок элементов обозначается Рₙ.
(от французского слова “Permutation”, что значит “перестановка”)
3. Формула перестановок Рₙ = n!
Описание слайда:
Разберём детскую задачку!
Дано множество из 3 объектов
Определите возможное количество перестановок этих объектов.
Можно это выполнить вручную,
способов получилось 6.
Воспользуемся
формулой перестановок
и сравним результаты.
Ответ: Р= 6.
Результаты совпали!
Описание слайда:
2. Размещения- это комбинации, где важен и состав элементов m, и порядок их размещения.
3. Число всех возможных комбинаций элементов обозначается А.
(от французского слова “Аrrangement”, что означает размещение)
4. Формула размещений
1. Размещения — комбинации, каждая из которых составлена из m элементов, взятых из n различных элементов, у которых состав элементов или их порядок отличают их друг от друга.
Описание слайда:
Описание слайда:
4. Число всех возможных комбинаций элементов обозначается С.
( от французского слова “Сombinasion”, что значит “сочетание”)
5. Формула сочетания
Количество сочетаний всегда меньше количества размещений.
1.Сочетания- это комбинации, каждая из которых составлена из m элементов, выбранных из n различных элементов, состав которых отличается хотя бы на один элемент.
2. В сочетаниях в отличии от размещений не учитывается порядок элементов.
Описание слайда:
Описание слайда:
«Правило произведения» в комбинаторике
N=n1*n2*n3…*nk
Пусть требуется выполнить последовательно k действий.
Если первое действие можно выполнить n1 способами,
второе действие n2 способами,
третье – n3 способами
и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами,
то все k действий вместе могут быть выполнены N способами:
Описание слайда:
«Правило произведения» в комбинаторике
N=n1*n2*n3…*nk
1. Первую цифру числа (объект n₁) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля.
2. Вторую цифру числа (объект n₂ ) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр.
3. Найдем N- количество чисел N= n₁*n₂=9*10=90
Ответ: 90 чисел
Рассмотрим пример: Cколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным?
Описание слайда:
3. В коробке находится 16 клубков шерсти.
Сколькими способами можно взять 4 клубка?
Описание слайда:
.
Проверим полученные знания!
Пройдите небольшой тест.
Запишите свои ответы на задания, а в конце теста можно будет их проверить!
4. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
5. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «полка»?
Описание слайда:
.
Проверим решение заданий!
Вычислите: 14!/12!
14! 12! = 12!∗13∗14 12! =13∗14=182 Ответ: 182
2. Сколькими способами можно переставить 4 различные предмета? В нашем случае это фрукты.
Нам нужно найти сколькими способами можно переставить между собой n различных предметов в разной последовательности, а значит применим формулу перестановок.
Описание слайда:
Проверим решение заданий!
3. В коробке находится 16 клубков шерсти. Сколькими способами можно взять 4 клубка?
Что это значит? Это значит, что из набора 16 различных клубков нужно составить какое-то количество уникальных сочетаний 4 клубков. То есть, каждая такая комбинация из 4 клубков будет отличаться от других комбинаций хотя бы одним клубком, а может и двумя!
Таким образом, у нас имеют место сочетания клубков. Применим формулу сочетания.
Описание слайда:
Ответ: 6
4. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
Описание слайда:
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки
Методическая работа в онлайн-образовании
Курс профессиональной переподготовки
Информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Презентация по информатике на тему «Кодирование текстовой и графической информации» (7 класс)
Презентация по информатике на тему «Носители информации» (9 класс)
Программирование в Компьютерных системах
Чайнворд по информатике (4 класс)
Дидактический материал для проведения зачета по информатике
Презентация по информатике на тему: «Классификация информационных технологий. Часть 7. Корпоративные информационные системы (КИС).»
Презентация по информатике на тему: «Классификация информационных технологий. Часть 6. Технологии электронного документооборота.»
Презентация по информатике на тему: «Классификация информационных технологий. Часть 5. Технология распределенной обработки данных (РОД).»
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5370995 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
В Якутии проведут первую в РФ федеральную олимпиаду по родным языкам
Время чтения: 1 минута
ДНР полностью перешла на стандарты и программы России в образовании
Время чтения: 1 минута
В России утверждены новые аккредитационные показатели для школ и колледжей
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.