Что такое инвариант в математике
Инварианты
Содержание
Инварианты в математике
Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, целью всякой математической классификации является построение некоторой полной системы инвариантов (по возможности, наиболее простой), то есть такой системы, которая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности. (В.Л.Попов, Инвариант, Математическая энциклопедия, т.2, М.: Советская энциклопедия, 1979, С. 526.)
Инварианты в олимпиадной математике
Понятие инварианта можно проиллюстрировать на следующей задаче:
Ребёнок овладел всего лишь двумя звуками: «У» и «А», причем два слова в лексиконе этого ребёнка означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи следующих преобразований: исключения идущих подряд звуков «УА» или «ААУУ» и добавления в любое место сочетания «АУУА». Докажите, что слова «ААУАААУУА» и «ААУУААА» означают одно и то же.
Нетрудно проверить, что второе слово получается из первого в результате последовательного применения трёх преобразований, указанных выше (назовём их смыслосохраняющими преобразованиями) — надо только найти эту цепочку смыслосохраняющих преобразований. Однако, на вопрос, означают ли слова «АУУ» и «УАА» одно и то же, ответить гораздо сложнее. Перебор последовательностей смыслосохраняющих преобразований не позволит получить второе слово из первого, так как данные слова имеют разный смысл. Для доказательства этого нужен принципиально другой подход, именуемый поиском инварианта. [1] [2]
Инварианты в физике
В физических процессах всегда существуют величины, которые не изменяются с течением времени, они и называются инвариантами. Примеры: энергия, компоненты импульса и момента импульса в замкнутых системах.
Инварианты в программировании
Инвариантом называется логическое выражение, истинное после каждого прохода тела цикла (после выполнения фиксированного оператора) и перед началом выполнения цикла, зависящее от переменных, изменяющихся в теле цикла. Инварианты используются в теории верификации программ для доказательства правильности выполнения цикла. Порядок доказательства работоспособности цикла с помощью инварианта сводится к следующему:
Также инварианты используют при проектировании и оптимизации циклических алгоритмов. Например, чтобы убедиться, что оптимизированный цикл остался корректным, достаточно доказать, что инвариант цикла не нарушен и условие завершения цикла достижимо.
Понятие инварианта также используется в объектно-ориентированном программировании для обозначения непротиворечивого состояния объекта. Подразумевается, что вызов любого метода оставляет объект в состоянии инварианта.
Инвариант в фольклористике
Инвариантом называется неизменяемая часть сюжета фольклорного произведения, которая характерна для всего сюжетного типа. Инварианту противостоит вариант.
Сюжеты, мотивы
понятия
См. также
Ссылки
Литература
Визгин В. П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике. М.: Наука, 1972. 240 с.
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Инварианты» в других словарях:
Инварианты — (от лат. invarians, родительный падеж invariantis неизменяющийся) числа, алгебраические выражения и т. п., связанные с каким либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы… … Большая советская энциклопедия
Инварианты — особое обозначение в математике. Если над целым однородным алгебраическим выражением с двумя переменными x1 и х2 совершено линейное преобразование, т. е. если вместо х1 поставлено α1×1 + α2×2, a вместо x2 поставлено β1×1 + β2×2, то получается… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Инварианты — Источники динамической информации об окружающей наблюдателя обстановке, остающиеся постоянными, несмотря на его перемещения, изменения окружающей обстановки и изменения ретинального образа. Например, скорость изменения размера элементов текстуры… … Психология ощущений: глоссарий
ИНВАРИАНТЫ — абсолютные, сохраняющиеся, фундаментальные в рамках определенной научной теории величины (константы), отношения, формальные преобразования. Например, С скорость света в теории относительности и т. п. (См. абсолют, неизменность) … Философия науки: Словарь основных терминов
ИНВАРИАНТЫ ЛАНДШАФТА — инварианты геосистемы, понятие, введенное В. Б. Сочавой (1978), в основе которого лежит представление о совокупности присущих геосистеме свойств, которые сохраняются неизменными при преобразовании той или иной категории геосистем. Инвариант… … Экологический словарь
ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ — величины, характеризующие эл. магн. поле и не изменяющие своего значения (инвариантные) при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. И. э. п., как и само поле, являются ф циями пространственных координат и времени. В вакууме… … Физическая энциклопедия
инварианты системы сил — Величины, остающиеся неизменными при преобразовании данной системы сил в любую ей эквивалентную, равные главному вектору этой системы сил и проекции ее главного момента относительно любого центра на направление главного вектора. Примечание. Если… … Справочник технического переводчика
Инварианты Карминати — В общей теории относительности, инварианты Карминати Макленахана (Carminati McLenaghan invariants, CM scalars) составляют один из наборов скалярных инвариантов кривизны. Они включают в себя 16 скаляров, получаемых из тензора Римана. Так как … Википедия
Инварианты педагогические — педагогические истины, не подлежащие пересмотру. Например: природа ребенка такая же, как и природа взрослого; любой человек стремится к успеху; неудача тормозит работу и лишает энтузиазма и т.д … Психолого-педагогический словарь офицера воспитателя корабельного подразделения
Инварианты педагогические — педагогические истины, не подлежащие пересмотру. Термин введён в педагогику французским педагогом С. Френе, который разработал 30 инвариантных принципов на основе гуманистической педагоги. Например, природа ребёнка такая же, как и природа… … Словарь терминов по общей и социальной педагогике
Готовимся к олимпиаде. Инварианты
Разделы: Математика
В некоторых задачах по математике дается набор преобразований исходного объекта и спрашивается: можно ли, используя эти преобразования, получить из одного состояния объекта другое? Перебором вариантов часто легко убедиться в правильности ответа “нельзя”, однако обосновать этот ответ бывает трудно. Методом, позволяющим во многих случаях решать доказательную часть таких задач, является метод инвариант. Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях, например, число, набор чисел, четность какого – либо числа и другое. Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого. Придумать инвариант должен ученик, самостоятельно решающий задачу; обычно это вызывает у него затруднения. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность) чисел и остаток от деления. Причем применение четности – одна из наиболее встречающихся идей при решении олимпиадных задач.
Вспомним определения четного и нечетного числа. Особое внимание надо уделить абстрактному понятию четности, объяснить, что такое “разная четность”. Например, число х =2 имеет ту же четность, что и число х (или оба четные, или оба нечетные), а при прибавлении единицы четность меняется. Применение идеи четности и нечетности основано на двух важных утверждениях (леммах):
Лемма 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.
Пример. Число 1 +2 + 3 + … + 10 – нечетное, так как в сумме 5 нечетных слагаемых. Пример 2. Число 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15 – четное, так как в сумме 6 нечетных слагаемых.
Лемма 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.
Рассматриваем с учащимися несколько примеров.
Арифметика, алгебра, комбинаторика.
Пример 1. Число (-1) *(-2) *(-3) *(-4) положительно, так как в произведении четное число отрицательных сомножителей.
Пример 2. Число (-1) *2 * (-3) * (-4) отрицательно, так как в произведении нечетное число отрицательных сомножителей.
После этого разбираем подробно следующие задачи.
Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?
Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?
Решение. После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.
В первой и во второй задачах инвариантом является четность суммы чисел.
Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?
Задача 4. Имеется набор чисел а, в, с. Данный набор чисел меняется на тройку чисел: а + в – с, в + с – а, а + с – в. Дан набор чисел 2000, 2002, 2003. Можно ли из него получить набор из чисел 2001, 2002, 2003?
Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?
Решение. Нет, так как в любом случае перевернутых вверх дном стаканов будет числом нечетным.
Задача 6. Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?
Решение. Ответ: нет. Пусть а и b = 2а – полученные числа, S(a) и S(b) – суммы их цифр. По признаку делимости числа N и S(N) имеют одинаковые остатки при делении на 3. Поскольку число a + b = 3a делится на 3, то сумма S = S(a) + S(b) должна делиться на 3, что неверно, так как S = 2 + 3 + 4 + … + 9 = 44.
Задача 7. На доске написаны числа 1, 2, …, 1998. За один ход разрешается стереть любое количество чисел и вместо них записать остаток от деления их суммы на 11. Через несколько ходов на доске остались два числа, одно из которых – 1000. Чему равно второе число?
Решение. Так как в конечном итоге на доске оказались записанными два числа, то хотя бы одно из них является остатком от деления некоторого числа на 11, т.е. не превосходит 10.Число 1000 не может являться остатком от деления какого-то числа на 11, поэтому искомое число не больше 10. Заметим, что в результате выполнения указанных операций остаток от деления суммы всех написанных чисел не изменится, так как для любых чисел а и в (а + в)(mod p) 
(a(mod p) + b(mod p))(mod p), где р – произвольное простое число. Первоначально 1 + 2 + … +1998 = 1997001 6 (mod 11) 1000 (mod p) + второе число. Так как 1000 10 (mod 11), то второе число 7.
Задача 8. В некотором государстве было 10 банков. С момента перестройки общества все захотели стать банкирами. Но по закону открыть банк можно только путем деления уже существующего банка на 4 новых. Через некоторое время министр финансов сообщил президенту, что в стране действует 2007 банков, после чего был немедленно уволен за некомпетентность. Что не понравилось президенту?
Решение. Заметим, что в результате превращения одного старого банка в четыре новых общее количество банков увеличится на 3. Таким образом, в любой момент времени число банков равно Б = 10 + 3 k и остаток от деления числа банков на 3 постоянен. (Это и есть инвариант). То есть Б 
. Первоначально Б 
( mod 3) >, а 2007 
.
Задача 9. Разместите цифры 0,1,2,3, …, 9 по кругу так, чтобы сумма всех разностей (по модулю) между соседними числами оказалась равна 25.
Задача 10. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1998. За один ход разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. В результате многократного выполнения таких действий на доске окажется записанным одно число. Может ли оно быть нулем?
Решение. Не может. Так как вначале на доске 999 нечетных чисел. На каждом шаге их количество не меняется, если среди выбранных чисел не более одного нечетного числа. А если выбранные числа оба нечетны, то количество нечетных чисел уменьшается на два. Таким образом, инвариант преобразования: количество нечетных чисел нечетно. Поэтому в конце должно остаться нечетное число. А нуль – четное число.
Задача 11. Числа 0,1,2,3, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?
Решение. Нельзя. При прибавлении одинаковых целых чисел к любым двум из имеющихся не меняет четность общей суммы всех чисел. Первоначально эта сумма равно 1 + 2 + 3 + … 9 = 45, следовательно, после каждого хода общая сумма полученных чисел должна быть нечетна, а нуль – четное число.
Задача 12. В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?
Решение. Нельзя. Предложенная операция обладает полуинвариантом: при любом переливании число нечетных сосудов (содержащих нечетное число литров воды) не увеличивается. Количество таких сосудов уменьшается при переливании из нечетного сосуда в нечетный, а в остальных случаях не изменяется. Следовательно, переход 1, 2, … 10 —> 3, 3, 3, 3, 3, 6,…,10 невозможен, поскольку увеличивает число нечетных сосудов.
Одна из причин состоит в отсутствии достаточных знаний у учащихся. Вторая причина связана со сложностью задачи. Сложность математической задачи зависит от многих факторов. Один из них – формулировка задачи. Для её решения может оказаться достаточным знание одной единственной теоремы или же одного-единственного её следствия. Необходимо только отыскать подходящий критерий для выявления этой теоремы или следствия. Рассмотрим пример.
Задача 13. Доказать, что уравнение 3x 2 – 4xy + 2y 2 – 21x + 12y – 3 = 0 имеет лишь конечное число целочисленных решений.
Анализ задачи. Заданное уравнение связывает определенными отношениями переменные x и y. Левая её часть представляет собой довольно громоздкий многочлен, а правая равна 0. О самих же переменных известно, что они целые числа. Это обобщенное понятие является и ключевым в нашей задаче. Если рассмотреть каждое слагаемое, легко заметить, что второе, третье, пятое из них всегда являются четными числами, а свободный член – нечетным. Перепишем уравнение в виде: 3x(x – 1) – 18x – 4xy + 2y 2 + 12y = 3.
Вспомнив свойство четности произведения двух последовательных целых чисел, установим четность первого слагаемого. Теперь мы знаем, что каждое слагаемое левой части уравнения всегда четно, следовательно, четна и их сумма. А в правой части –нечетное число. Приходим к выводу о том, что уравнение не имеет целочисленных решений. >
Задача 14. Найдите множество точек плоскости XOY, координаты которых удовлетворяют уравнению 
.
Решение. Левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний OM + MC, где 
, 
. Для любых трех точек 
имеем полуинвариант, следующий из неравенства треугольника: 
. В нашем случае 
. Следовательно, точка 
должна лежать на отрезке 
.
Инвариант. Примеры инвариантов.
Инвариант — это характеристика некоторого класса (множества) математических объектов быть неизменными при преобразованиях конкретного типа.
Определение инварианта.
Концепция инварианта есть одной из самых важных в математике, так как изучение инварианта напрямую связано с задачами классификации объектов разных типов. Иными словами, целью любой математической классификации есть построение определенной полной системы инвариантов (как можно более простой), т.е. той системы, которая отделяет любые 2 неэквивалентных объекта из совокупности, которая рассматривается.
Примеры инвариантов.
— В теории дифференциальных уравнений инвариантом является функция, которая зависит от искомой функции, при ее постоянном значении ( первый интеграл ).
— Теория инвариантов работает с поиском инвариантных многочленов (или просто «инвариантов») и изучением образовываемой ими алгебры для примера линейных представлений алгебраических групп. Кроме того, действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
— Задачи на инвариант – это большой класс задач в математике для олимпиад.
— Число Хардвигера и хроматическое число есть инвариантами графа при перенумерации вершин этого графа.
— Инвариант эллиптической кривой — число 
.
Что такое инвариант в математике
«ИНВАРИАНТ – НЕОБЫЧНОЕ В ПРОСТОМ»
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Я уже кое-что знала об инвариантах, так как в прошлом году проводила исследование по теме «Математические игры – познавательный досуг», и в моем сборнике присутствовали инвариантные игры, поэтому мне было немного проще решать задачи на кружке. Но все-таки мои знания были довольно поверхностными. Мне захотелось лучше разобраться в этой непростой теме, ведь она очень заинтересовала меня, поэтому я считаю свою тему актуальной, а исследование результативным.
Объект исследования: математические задачи, решаемые инвариантом.
Предмет исследования: инварианты в решениях.
Цель моей работы: научиться решать инвариантные задачи, создать обучающий видеоролик на соответствующую тематику.
Задачи, над которыми я работала:
Вспомнить точное определение термина «инвариант» составленное мною в прошлом году.
Попытаться классифицировать инварианты, опираясь на свой личный опыт.
Узнать, насколько практичны и применяемы в повседневной жизни инварианты, и чем они полезны.
Подумать в каких науках также применяются инварианты.
Понять, как находить инвариант в задачах.
Самостоятельно решить несколько инвариантных задач и описать их решение.
Обобщить полученную информацию и в качестве результата моего исследования создать обучающий видеоролик об инвариантах.
Гипотеза: предположу, что если я внимательно изучу инварианты, пойму, как найти инвариант и с его помощью решить задачу, то смогу достичь своей цели.
Новизна: раньше я никогда не рассматривала инварианты как конкретный раздел математики, поэтому вся работа с ними будет для меня новой деятельностью.
Методы исследования: размышления, поиск информации в Интернете, изучение специальной литературы, практический метод, анализ результатов.
Основная часть
2.1. Толкование термина «инвариант»
Классификация инвариантов
Инварианты с четностью в решениях задач могут являться четностью суммы, разности, остатка, произведения, частного и др. Эти инварианты являются четностью некоторого объекта изначально или путем простейших преобразований, таких как умножение, деление, вычитание и сложение. Четность или нечетность результата этих операций очень часто влияет на решение задачи, и, как и все инварианты имеет свои особенности решения, о которых я расскажу позже.
Инварианты с разбиением на пары чаще всеговстречаются в геометрических задачах с пересекающей стороны фигуры ломанной.
Инварианты с раскраской объектов в 2 цвета можно встретить в тех задачах, где есть предпосылки для раскраски (например, круг, поделенный на несколько секторов) или где используется шахматное поле.
Инварианты с чередованием состояний объекта часто соседствуют с инвариантами на четность. Эти инварианты характеризуют несколько состояний объекта, которые всегда сменяют друг друга в определенном порядке. Например, мяч сначала летит к стене в одном направлении, а потом отскакивает от нее и летит в руки в другом направлении.
Практичность инвариантов
После изучения данной информации я подумала, что если инвариант присутствует в самых разных науках, то возможно и в нашей повседневной жизни тоже есть что-то неизменяемое? Поразмыслив еще немного, я нашла несколько случаев использования инвариантов в повседневной жизни. Это количество дней в месяцах, смена времен года, некоторые праздничные даты (Новый год, Рождество, Ваш день рождения). Также инвариантами являются количество часов в сутках, порядок течения дня (вечер не может наступить раньше, чем утро), режим дня и др.
Таким образом, мы можем утверждать, что в нашей жизни каждый день мы сталкиваемся с множеством инвариантов, а я могу доказать этим практичность своей темы.
Полезность инвариантов
После того, как я удостоверилась в актуальности и практичности моего исследования я решила рассмотреть его влияние на умственную деятельность. Как влияет на наш мозг решение инвариантных задач? Какие качества развивает в человеке работа с инвариантами? Сейчас мы это узнаем.
Итак, обычно в условии задачи не говорится, как ее решать. Вдруг эта задача вовсе не на инвариант, а на принцип Дирихле или это вообще не задача, а игра на центральную симметрию? Поэтому в процессе выбора способа решения задачи мы развиваем свое логическое мышление. Далее, чтобы найти инвариант требуется выполнить несколько раз требуемые в условии операции. Для этого нужна усидчивость и внимательность. После этого нужно попытаться отыскать общее во всех этих решениях – тренировка абстрактного мышления, терпения и трудолюбия. Особенно терпения, ведь бывает, что нужный компонент находится не сразу. Потом, чтобы до конца решить задачу требуется умение логически мыслить и устанавливать причинно-следственные связи. Вот мы и определили качества, тренируемые решением инвариантных задач. Таких качеств довольно много, поэтому можно сказать, что решение задач данного типа полезно для мозговой деятельности.
Решение инвариантных задач
После того, как я узнала немного больше об инвариантах и их видах, я решила рассмотреть решения нескольких инвариантных задач разных типов, чтобы затем сравнить их и попробовать составить алгоритм решения инвариантных задач, который будет присутствовать в моем фильме.
Итак, начнем с инварианта на четность. Рассмотрим условие классической задачи подобного типа. Задача: «На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?». Попробуем решить данную задачу. Итак, предположим, что у нас получилось выполнить условие задачи и все стаканы стоят правильно. Тогда «правильных» стаканов будет 6, а «неправильных» будет 0. Попробуем решить задачу практическим путем – схематично изобразим стаканы и их расположения.
Мой эксперимент показан в этой таблице. Теперь нужно поискать то, что остается неизменным. Это нечетность количества «неправильных» стаканов. А так как их должно быть 0, что является четным числом, то все стаканы поставить правильно нельзя. Ответ: нельзя.
Итак, значит, чтобы решить задачу на четность надо сравнить по четности результаты эксперимента и результаты, нужные по условию задачи.
Рассмотрим другой тип задач – с разбиением на пары. Задача: «Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого: а) 2007-угольника; б) 2008- угольника?»
Итак, предположим, прямая пересекает все стороны многоугольника, который обозначим как m. Рассмотрим все вершины, лежащие по одну сторону от нее. Каждой из этих вершин можно поставить в соответствие пару сторон, из нее выходящих. При этом получим разбиение всех сторон многоугольника на пары. Поэтому если прямая пересекает все стороны m-угольника, то m четно. Значит для 2008-угольника это возможно, а для 2007-угольника нет. Ответ: для 2008-угольника возможно, для 2001-угольника нельзя.
Для решения задачи с разбиением на пары, нужно попробовать разбить объекты по парам и сравнить, в каких случаях это возможно.
Попробуем решить задачу типа раскраски в 2 цвета. Задача: «Дана шахматная доска размером 5*5. Можно ли замостить доску плиточками домино размером 2*1?». Важно знать, что каждая плитка занимает одну черную и одну белую клетку, следовательно, количество белых и черных клеток должно быть равным. А так как на нашей доске размером 5*5 всего 25 клеток, значит количество черных и белых клеток неравное. Следовательно, этого сделать нельзя. Ответ: нет. И для решения подобных задач требуется «раскрасить» объекты в два цвета (обычно в чёрный и белый цвета) и сравнить количество объектов разных цветов.
И последний тип задач, который мы рассмотрим – задачи с чередованием состояний. Задача: «На плоскости лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после 25 ударов?
В этой задаче нужно понять, что после каждого удара изменяется ориентация (т.е. направление обхода) треугольника АВС. Даже если шайбы будут проходить одинаковый путь, то они не вернутся на свои первоначальные места, т.к. число 25 не делится на 3 и какие-то шайбы останутся не на своем месте. Ответ: не могут. А для решения подобных задач надо лишь найти несколько состояний объекта, и исходя из их чередования, решить задачу.
Алгоритм решения инвариантных задач
После того, как я решила несколько задач разных типов и нашла особенности решения задач каждого типа, я попробовала составить алгоритм решения всех инвариантных задач, ведь алгоритм значительно упрощает решение задач. Итак, мой алгоритм:
Удостоверьтесь, что ваша задача – инвариантная, ведь если это не так, то мой алгоритм окажется для вас бесполезным. В инвариантных задачах всегда бывают эксперименты: переворачивать что либо, считать довольно большие суммы чисел и другие похожие задания.
После того, как вы удостоверились, что ваша задача инвариантная, выполните условия эксперимента. Желательно несколько раз. Это очень важно! Только эксперимент поможет вам найти инвариант. Так что не поленитесь и на практике раскрасьте клетки, переверните стаканы или раздайте пирожки детям (кстати, это можно сделать и схематично, в тетради).
После выполнения условий детально разложите требуемые условия для решения задачи. Например, если все стаканы должны стоять правильно, то правильных стаканов будет n, а неправильных 0.
Затем попытайтесь найти что-либо неизменяемое во всех ваших экспериментах. Это должно быть логичным по отношению к вашим условиям для решения.
Соотнесите инвариант и условия для решения. Сделайте вывод исходя из этого соотношения. Например, число неправильных стаканов всегда нечетно, а их должно быть 0 – четное количество. Значит, все стаканы не могут стоять правильно.
Если вашего вывода достаточно для решения задачи, то вы правильно решили задачу с помощью нахождения инварианта. Если нет, то попробуйте дальше дополнить ее логичными рассуждениями и поисками. Бывает, что после нахождения инварианта нужно еще немного додумать задачу и все получится. В противном случае попробуйте найти инвариант еще раз. Возможно, в этом и есть ваша ошибка. Желаю вам удачи!
Создание обучающего видеоролика.
Финальным этапом моего исследования стало создание обучающего фильма, с помощью которого другие люди тоже смогли бы научиться решать инвариантные задачи. Такой фильм я решила создать сначала в виде презентации Microsoft Power Point, а потом с помощью какой-либо программы для записи видео с экрана монитора записать показ моей презентации. Программу для записи видео я выбрала HyperCam 4. Я выбрала именно ее, потому что эта программа имеет интуитивно-понятный интерфейс, включает в себя функцию записи видео и звука.
Для начала я скачала HyperCam 4 и установила ее на свой компьютер. Затем я настроила ее так, как мне было нужно: убрала показ курсора мыши и звук щелчка, ведь мне ни к чему посторонние шумы в фильме. Потом я отрегулировала область записи видео. Программа была настроена, и мне оставалось лишь успеть создать фильм пока не истечет срок бесплатного использования.
Далее я перешла к созданию презентации – основы для моего будущего фильма. Я создала новый файл, определила дизайн и наполнила презентацию данными из моей работы. Также я вставила в презентацию много музыки, анимации и картинок, чтобы зрителю было приятно смотреть мой фильм. К каждому слайду я с помощью микрофона и программы «Звукозапись» записала звуковое сопровождение, в котором преподносится основная информация и отредактировала громкость и формат звука. В целом, я постаралась сделать свой фильм красивым и познавательным.
После выполнения основной части работы мне осталось лишь снять показ презентации на видео с помощью HyperCam 4. Я записала показ, и у меня получился небольшой познавательный фильм. Но в нем также было записано, как я включаю презентацию и другие ненужные моменты. С помощью онлайн редактора видео я вырезала все бесполезные части фильма и сохранила на жесткий диск окончательный вариант. Затем я с помощью программы Microsoft Publisher создала буклет, в котором также были включены основные мысли моей работы. Буклет я украсила своей эмблемой и постаралась сделать ярким и познавательным.
Заключительная часть
3.1. Вывод