Что такое индекс волатильности

Одним из показателей, используемых трейдерами для оценки состояния рынка, является индекс волатильности. Данный индикатор применяется во многих стратегиях торговли ценными бумагами. Он также известен под названием «индекс страха». Зачем он нужен и как им пользоваться – объясняем в этом материале.

Что такое индекс волатильности

Почему его называют индексом страха

Индекс волатильности свидетельствует об общем настроении участников рынка. Если его значение выходит за пределы пороговой величины, можно сделать вывод или о чрезмерном спокойствии трейдеров, или о начинающейся среди них панике. Именно поэтому данный индикатор часто называют «индексом страха» или «индексом неуверенности».

От чего зависит индекс волатильности?

Главной отличительной чертой индикатора является методика расчета его величины, построенная на основе прогнозов, а не фактических данных. Законы математики и статистики в этом случае не работают. Поэтому данный показатель часто подвергается критике со стороны многих аналитиков.

Главным образом величина индикатора зависит от ожиданий трейдеров, которые, в свою очередь, меняются под влиянием множества факторов. Значимые изменения на бирже влекут за собой увеличение диапазона колебания цен активов. Это в большинстве случаев провоцирует возникновение паники среди инвесторов.

Росту показателя способствуют:

В отличие от фактической, прогнозируемая волатильность в большой степени зависит от долгосрочных тенденций рынка.

Низкое значение индекса волатильности, как правило, наблюдается в периоды продолжительной устойчивости трендов, когда инвесторы ожидают отсутствия изменений и в дальнейшем.

Данная методика прогнозирования применяется на практике более 30 лет. Но многие специалисты уверены в ее несостоятельности.

Расчет значений индекса VIX

Индекс волатильности (VIX) рассчитывает Чикагская торговая опционная биржа CBOE. За основу принимаются данные по 8 контрактам S&P 500. Для расчета используется формула Блэка-Шоулза.

Несмотря на то, что эта методика применяется уже несколько десятилетий, многие участники рынка финансов считают ее необоснованно усложненной. По их мнению, ретроспективный анализ волатильности способен дать не менее точные результаты, чем анализ прогнозов инвесторов.

Интерпретация значений VIX

Для интерпретации результатов проведенных расчетов применяются следующие критические значения показателя:

Примером ситуации, повлекшей за собой рост волатильности рынка, является кризис 2008–2009 годов. До его начала верхнее значение показателя не превышало 35 п. В 2008 году оно подскочило до отметки 81 п., что сопровождалось большой паникой на рынке. После того как финансовая ситуация стабилизировалась, страхи инвесторов начали снижаться. Вслед за этим уровень волатильности развернулся в сторону уменьшения и остановился на отметке 40–50 п. Именно это значение сегодня используется в качестве верхнего порога индекса страха.

Внимание! Максимальные и минимальные пики индекса волатильности и котировок S&P 500 почти зеркально отражают друг друга.

Аналоги индекса VIX

Как применять индекс инвестору

Индекс волатильности отражает уровень страхов и беспокойства опытных инвесторов. Он помогает как бы со стороны увидеть, что в данный момент происходит на бирже.

Индекс волатильности дает инвестору сигнал к действию, направленному в противовес действиям большинства трейдеров. Таким образом, можно раньше других участников биржи определить точки разворота на графиках стоимости ценных бумаг и принять верное торговое решение.

«Индекс страха» на сегодняшний день является спорным индикатором для составления прогнозов. Поэтому не рекомендуется использовать его как безусловное руководство к действию. Но с помощью данного индикатора можно найти подходящую точку для входа на рынок. Кроме того, этот показатель можно использовать для определения наиболее успешной стратегии торговли его производными инструментами.

Подпишитесь на нашу рассылку, и каждое утро в вашем почтовом ящике будет актуальная информация по всем рынкам.

Источник

Индекс волатильности VIX

Об индексе VIX простыми словами

Индекс волатильности vix (аббревиатура — Volatility Index VIX) представляет собой предположения инвесторов о будущей изменчивости (волатильности) фондового рынка; т.е. их прогноз размаха движений рыночной цены. Также известен как индекс страха и индикатор волатильности, хотя последний термин употребляется несколько реже.

Волатильность повышается при росте нервозности биржевых игроков во время сильных движений рынка. Индекс VIX при этом показывает уровень их страха, связанного с динамикой цен. На основе его значений можно отследить начало паники или наоборот, возврат к спокойному поведению.

Для простоты понимания сущность индикатора иногда представляют в виде страховки. Чем сильнее страхи рыночных игроков, тем больше они готовы платить за свою защиту (страховку) и тем выше значение индекса. И наоборот: когда на рынке все спокойно и направление движения цены очевидно, значение VIX низкое.

Создание индекса страха

Практически индекс был создан в 1993 г. Чикагской биржей опционов СВОЕ, хотя задуман 7 годами ранее (в 1986 году). Сначала он рассчитывался на основе стоимости опционов на индекс S&P100, но после 2004 года — на S&P500, чтобы охватить больший сегмент рынка. Для непрерывности анализа данные, рассчитанные на основе S&P100, продолжают публиковаться, хотя уже под другим названием — VXO.

Из-за особенностей расчета индекс страха зеркально отражает рынок акций — минимальные значения VIX совпадают с максимальными пиками S&P500. Это обусловлено тем, что при росте волатильности рынка растет риск для инвесторов и цена бумаг снижается. При появлении признаков спокойствия и снижения изменчивости акции дорожают.

Значения индекса публикуются в специализированных изданиях, в том числе на сайте Чикагской биржи.

Аналоги индекса VIX

На других биржах есть свои аналоги VIX: на Nasdaq 100 — VXN, на Dow Jones — VXD. Имеются и аналогичные индикаторы волатильности для облигаций: MOVE, LBPX. Есть они и в России — например, привязанный к РТС индекс RTSVX:

Здесь легко прослеживаются две вещи:

Практическая ценность VIX?

Индикатор волатильности используется некоторыми трейдерами для анализа поведения участников биржевых торгов и определения момента входа на рынок. Если текущее значение индикатора составляет, например, 20%, это означает, что ожидаемое изменение индекса S&P500 в годовом выражении с вероятностью 68% составит 20 процентов (либо увеличение, либо снижение). Уровень конфиденциальности 68% является стандартным отклонением для нормальной кривой вероятности (одна сигма). Соответственно, с вероятностью около 95% ожидаемое годовое отклонение цены не будет выше двух сигм (т.е. не более 40%).

На основе индекса VIX можно также рассчитать и недельную волатильность. В данном примере 20% надо разделить на корень из 52 (количество недель в году) — ответ 2,77% означает, что рыночные ожидания таковы, что индекс S&P в течение недели упадет или вырастет в пределах 2,77%.

Профессиональные участники иногда рассчитывают индекс волатильности vix ежедневно. Он показывает ожидаемое изменение цены в период между закрытием и открытием рынка. Основные значения, представляющие практический интерес для анализа — 15, 20-30, 40-50 процентов.

Рекомендации по применению

1. Если индекс меньше или равен 15%, это значит, что инвесторы полны оптимизма. В этот момент рекомендуется продавать акции, так как

2. Оптимальная волатильность рынка формирует значения индекса в диапазоне между 20 и 30 процентами. Ниже 20% — низкая волатильность, выше 30% — высокая.

3. Значение индекса, равное 40 или 50 процентам (и выше), говорит о наличии на рынке паники. Все боятся, не имеют ясно выраженных представлений о будущем, начинают массово продавать свои ценные бумаги. В этот момент следует искать возможности входа на рынок для покупки. Как только индекс начнет снижаться, нужно скупать акции — цена с высокой вероятностью будет расти.

До 2008-2009 гг. VIX за свою историю с 1993 г. только однажды превысил показатель 40% — в 1998 году. Через 10 лет во время нового кризиса он подскочил до 81%, так как на рынке была сильнейшая паника. После этого его максимальное пороговое значение установилось на уровне 50%, и именно его трейдеры считают сейчас критичным.

Интересно отметить, что хотя максимальная глубина просадки индекса S&P500 после пузыря доткомов в 2000 г. оказалась почти равна кризису 2008 года, индекс волатильности все это время принимал скорее умеренные — хотя и довольно высокие — значения. Связано это с тем, что просадка S&P500 2000-2002 годов шла относительно плавно, поскольку там сильно проседала только одна отрасль — высоких технологий. Тогда как значения индекса VXN, показывающего волатильность именно высокотехнологичного сектора, к началу 2001 года превышали 75%.

Критика индекса волатильности

Некоторые финансисты и управляющие портфелями негативно относятся и полностью игнорируют торговые модели, основанные на учете индекса волатильности. Например, Нассим Талеб (Nassim Taleb), автор нескольких книг на тему финансового рынка, назвал одну из своих работ «Мы не вполне себе знаем, о чем говорим, когда мы говорим о волатильности».

Еще один финансист, Майкл Харрис (Michael Harris), говорит о том, что VIX всего лишь отражает разброс цен на опционы в конкретный момент и не обладает возможностью предсказания движения рынка в будущем.

Роберт Шиллер (Robert J.Shiller) попробовал рассчитать индекс страха за более ранний период, начиная с 1929 года — и выяснилось, что по нему нельзя было предугадать наступления эпохи Великой Депрессии. Соответственно, если вдруг какие-либо аналогичные потрясения ожидают нас в будущем, по индексу VIX мы этого не поймем.

Выводы

Выше был рассмотрен инструмент, отражающий настроение основной массы игроков на бирже и их поведение. Предсказательная способность VIX остается минимум спорной — низкое значение не обязательно означает будущее снижение индекса S&P 500 (и наоборот), поскольку индикатор волатильности оперирует лишь понятием отклонения, не уточняя, в какую сторону оно произойдет. Фактически низкие значения VIX скорее говорят только о застое рынка, т.е. о ситуации, когда спекулянтам сложно извлекать из него прибыль.

В дополнение следует отметить, что VIX используется не только для анализа. Для получения дохода спекулянты покупают фьючерсы и опционы на индекс волатильности, а также биржевые фонды VXZ, VXX, VIXM и VIXY.

Источник

Индекс страха. Кто и как зарабатывает на нервозности инвесторов

Самый известный из таких индикаторов — Индекс волатильности Чикагской биржи опционов VIX. Он также известен как индекс страха.

Как работает индекс страха VIX

Аналитики и инвесторы, использующие VIX, считают, что он измеряет настроение рынка относительно будущей волатильности. Иными словами, этот индекс демонстрирует уровень опасений инвесторов относительно будущих движений рынка.

Зная степень опасения инвесторов сейчас, можно предположить, в какую сторону совокупные настроения инвесторов направят котировки.

Каким же образом измеряются эти опасения? Главная идея, согласно которой используется индикатор волатильности, заключается в том, что в основе расчета индикатора лежат цены на опционы. Поэтому для понимания того, как это работает, нужно разобраться, как устроен опцион.

Опцион представляет собой специфический биржевой контракт, который наделяет купившего его инвестора правом купить или продать биржевой товар по определенной цене. В классической биржевой сделке речь идет об обязанности, а не праве.

Из-за этого свойства опцион часто используют для рыночной страховки инвестиций. Как это достигается? Рассмотрим, как используются опционы на примере нефти.

Опцион на нефть: пример расчета

Такой опцион на право продажи называют опционом-пут — по-английски это звучит как put-option. Опцион на право покупки называют опционом-кол. В английском варианте — call-option.

Эти трейдеры порождают спрос на опционы-кол. Соответственно, текущее соотношение продавцов и покупателей, а также их настроения и ожидания будущего движения цен проявятся в ценах на пут- и кол-опционы. Таким образом, соизмеряя цены опционов, можно численно определить настроения инвесторов относительного движения цен.

И при чем тут нервозность инвесторов?

Чем больше инвесторов опасается падения рынка, тем больше вырастают премии на опционы-пут и снижаются премии на опционы-кол.

Напротив, если рынок уверен в росте, то премии на кол-опционы возрастут, на пут-опционы снизятся.

Но если рынок не уверен в направлении, тогда большинство участников опасаются непредвиденных движений и страхуются от них. Это проявится рост премий всех опционов — как пут, так и кол.

Расчет индекса производится таким образом, что чем больше размеры премий, тем больше значение индекса VIX.

Шкала страха от 0 до 100

Значения индекса VIX в теории располагаются на шкале от 0 до 100. Индекс рассчитывается с января 1990 года. Максимального в истории значения в 89,53 пункта индекс достигал 24 октября 2008 года, минимального — 8,56 пункта — 24 ноября 2017 года. Чаще всего значения индикатора располагаются в диапазоне от 15 до 40.

Если значение индикатора превышает уровень 70–80, то теоретически это должно означать, что трейдеры стремятся максимально застраховаться. Причем уже не только от колебаний, но и от глубокого падения рынка.

После того как в октябре 2008 года индикатор достиг максимальных значений, американские индексы продолжили снижение, достигнув дна в марте 2009 года. Надо заметить, что на практике индикатор принимал значения выше 50 за всю свою историю только с октября 2008 года по март 2009-го включительно. Поэтому на деле использовать его для предсказания вхождения в нисходящий тренд более не представилось возможным.

Чаще всего трейдеры предпочитают ориентироваться на верхний предел 45. Нахождение индикатора выше 45 означает, что уровень страха на рынке достаточно высок и пока стоит воздержаться от покупок. Правда, как сигнал к продажам преодоление этих уровней воспринимать все же не стоит.

Существует ли российский индекс страха

VIX может служить опережающим индикатором при торговле ценными бумагами, обращающимися на американских биржах. На российском рынке существует аналогичный индикатор RVI. Он мог бы служить измерительным ориентиром настроений инвесторов на российском фондовом рынке.

Индекс рассчитывается с 2014 года по методике, схожей с расчетом индекса страха VIX, но учитывает опционы на индекс РТС. Индекс РТС, в свою очередь, рассчитывается исходя из цен на российские акции в долларах США. Поскольку в расчет никак не принимается будущий курс рубля относительно доллара, то ориентироваться на RVI, торгуя ценными бумагами в рублях, все-таки не стоит.

Биржевой фонд, вкладывающий средства участников в акции по определенному принципу: например, в индекс, отрасль или регион. Помимо акций в состав фонда могут входить и другие инструменты: бонды, товары и пр. Термин, обозначающий вероятность быстрой продажи активов по рыночной или близкой к рыночной цене. Подробнее Изменчивость цены в определенный промежуток времени. Финансовый показатель в управлении финансовыми рисками. Характеризует тенденцию изменчивости цены – резкое падение или рост приводит к росту волатильности. Подробнее Торговая позиция при биржевых операциях. Она возникает, когда инвестор покупает ценные бумаги, валюту или товар в ожидании роста цен на них. В этом случае инвестор не ограничен во времени и может владеть инструментом (бумагой, валютой, товаром, контрактом и пр.) сколь угодно долго, отчего такая позиция получила название «длинной» Способ торговли на бирже, когда инвестор заимствует у брокера акции, которыми сам не владеет, чтобы продать их по текущей рыночной цене с тем, чтобы купить эти же акции по более низкой цене и извлечь выгоду. В этом случае инвестор ограничен сроками расчетов, а открытие короткой позиции сопряжено с высоким риском. Финансовый инстурмент, используемый для привлечения капитала. Основные типы ценных бумаг: акции (предоставляет владельцу право собственности), облигации (долговая ценная бумага) и их производные. Подробнее

Источник

How-to: Что такое Russian Volatility Index и как он рассчитывается

Примечание: Данный текст публикуется в рамках эксперимента — в нашем блоге мы осветили уже довольно большое количество вводных теоретических аспектов фондового рынка. Сегодня мы попытаемся «перейти на следующий уровень» и поговорить о более глубокой и сложной теме — индексах волатильности, в частности, подобного индекса для российского рынка.

16 апреля 2014 года Московская Биржа запустила расчет и публикацию нового индекса волатильности российского рынка — индекса RVI.

В пресс-релизе биржи по случаю запуска индекса RVI указано, что новый индекс позволяет оценить уровень волатильности российского рынка, а также расширяет финансовые возможности опционных трейдеров, хеджеров и институциональных инвесторов.

Индекс RVI рассчитывается согласно пяти основным принципам:

где

Т₃₆₅ – 365 дней в долях от календарного года (год = 365 дней);
Т₃₀ – 30 дней в долях от календарного года (год = 365 дней);
Т₁ – время до даты экспирации ближайшей серии опционов включительно в долях от календарного года (год = 365 дней);
Т₂ – время до даты экспирации следующей серии опционов включительно в долях от календарного года (год = 365 дней);
σ₁ – подразумеваемая волатильность ближайшей серии опционов;
σ₂ – подразумеваемая волатильность следующей серии опционов.

Волатильности ближайшей и следующей серий опционов определяются уравнениями:

где

ΔK_i – шаг страйка (в целях расчета Индекса используются основные страйки, промежуточные страйки не используются);
Т₁ – время до даты экспирации опциона ближней серии включительно в долях от календарного года (год = 365 дней). Изменяется каждые 15 секунд;
Т₂ – время до даты экспирации опциона дальней серии включительно в долях от календарного года (год = 365 дней). Изменяется каждые 15 секунд;
K_i – i-й страйк. При этом (в целях расчета Индекса используются основные страйки, промежуточные страйки не используются);
F₁, F₂– котировки фьючерсных контрактов, являющихся базовым активом опциона ближайшей серии и опциона следующей серии соответственно.

Котировка фьючерсного контракта равна либо цене последней сделки, либо цене лучшей активной заявки на продажу, которая меньше цены последней сделки, либо цене лучшей активной заявки на покупку, которая больше цены последней сделки в текущий момент. В случае если сделок в текущей сессии до момента расчета котировки фьючерсного контракта не было, используется среднеарифметическое значение между ценами лучшей активной заявки на покупку и лучшей активной заявки на продажу. Если на момент расчета активные заявки на покупку и активные заявки на продажу отсутствуют, используется расчетная цена, определенная по итогам ближайшего предыдущего расчетного периода.
Pr(K_i) – стоимость опциона для i-го страйка, определяемая по определенному алгоритму [1].

Подробно с методикой расчета индекса RVI можно ознакомиться на сайте Московской Биржи в разделе «Индексы/Индекс волатильности». К сожалению там вы не найдете ссылок на ресурсы, объясняющие каким образом получены указанные выше формулы, и какой они несут экономический смысл. Для поиска первоисточников обратимся к методике расчета индекса волатильности Чикагской Биржи CBOE — VIX.

The CBOE Volatility Index — VIX

В 1993 году Chicago Board Options Exchange (CBOE) начала рассчитывать и публиковать значения CBOE Volatility Index (VIX). Данный индекс волатильности был создан для оценки рыночных ожиданий относительно 30-дневной волатильности и рассчитывался с использованием рыночных цен at-the-money опционов на S&P 100 Index (OEX). Спустя 10 лет в 2003 году CBOE совместно с Goldman Sachs обновила методику расчета VIX. Новый VIX основан на S&P 500 Index (SPX) и оценивает ожидаемую волатильность с помощью усреднения цен опционов на SPX, выбранных по широкому списку страйков с определенными весами. Позволяя выражать показатель волатильности через портфель SPX опционов, новая методология трансформировала VIX из абстрактной концепции в практический стандарт торговли и хеджирования волатильности.

В марте 2004 года CBOE выводит на биржу первый фьючерсный контракт на VIX. Двумя годами позже в феврале 2006 CBOE запускает VIX опционы, самый успешный продукт в истории биржи [2].

Напомню, что Московская Биржа в лице Романа Сульжика в апреле текущего года сообщила, что планирует этим летом запустить фьючерсный контракт на индекс волатильности RVI. Будем надеяться, что это произойдет в заявленные сроки, и что новый продукт будет востребован рынком.

Обобщенная формула для расчета VIX имеет вид:

σ – VIX/100;
T – время до экспирации (в годах);
F – цена форварда на индекс S&P 500, получаемая из цен опционов SPX;
K₀ – страйк ближайший снизу к цене форварда на индекс;
K_i – страйк i-го out-of-the-money опциона call, если K_i > K₀, или put, если K_i 2 ₁ и sigma 2 ₂ по формуле (4). Далее находится их 30-дневное взвешенное среднее по формуле:

Документ CBOE [2], раскрывающий методику расчета VIX, содержит ссылку на материалы компании Goldman Sachs [3], в которых приводится описание способов оценки Volatility Swap и Variance Swap. Математика VIX тесно переплетена с математикой прайсинга свопов волатильности. И это не случайно, т.к. новый VIX (запущенный в 2003 г.) разрабатывался CBOE совместно с инвестиционным банком Goldman Sachs. Последний в свою очередь активно продвигал торговлю свопами на волатильность — в 1999 году была опубликована знаменитая статья «More than you ever wanted to know about volatility swaps», в которой авторы — количественные аналитики из Goldman Sachs дали описание методики оценки стоимости этих свопов. Идея создать индекс волатильности, привязанный к реальному инструменту, денежный поток которого напрямую зависит от этой волатильности, оказалась весьма успешной — фьючерсы и опционы на VIX приобрели большую популярность среди инвесторов.

Variance Swap

Как отмечено выше, методика расчета индекса VIX тесно связана с теорией свопов волатильности. Основой данного класса финансовых инструментов является понятие Variance Swap. Variance Swap (VS) — это форвардный контракт на годовую дисперсию (variance), квадрат реализованной волатильности (realized volatility). Формула выплаты на экспирацию по данному свопу описывается формулой:

σ 2 _R — реализованная дисперсия акции, фьючерса, индекса и т.п., указанная в годовом выражении, за период обращения контракта;
K_var — цена поставки контракта;
N — номинал свопа на единицу годовой дисперсии.

Владелец VS при экспирации контракта получит N долларов за каждый пункт, на который реализованная дисперсия σ 2 _R превысит цену поставки K_var. Поэтому справедливое значение дисперсии (по мнению рынка) равно цене поставки VS, при которой стоимость свопа будет нулевой. Справедливое значение дисперсии в данном контексте служит хорошим ориентиром для значения индекса волатильности VIX. Таким образом, методику оценки стоимости VS можно применять и в расчетах VIX.

Оценка стоимости VS производится с помощью стратегии репликации свопа через портфель опционов. В основе данной стратегии лежит понятие log-контракта — экзотического опциона на акцию (индекс, фьючерс и т.п.), хеджирование которого обеспечивает выплату эквивалентную дисперсии доходностей цен этой акции. Log-контракт в свою очередь может быть реплицирован через портфель ванильных опционов на тот же базовый актив. Это дает возможность выразить стоимость VS через цены опционов.

Обозначим V показатель чувствительности цены опциона C_BS к дисперсии базового актива σ 2 (назовем его Variance Vega), определяющий на сколько изменится цена опциона в случае изменения дисперсии его базового актива:

На Рисунке 1 представлены графики изменения показателя Variance Vega для опционов с различными страйками в зависимости от цены базового актива (левая часть), а также графики Variance Vega портфелей, состоящих из этих опционов (правая часть).

Рис. 1: Variance Vega портфелей call опционов с различными страйками как функция цены базового актива. Каждый график слева показывает вклад отдельного опциона в V портфеля. Соответствующий ему график справа показывает сумму этих вкладов, взвешенных двумя способами: штриховая линия — с равными весами, сплошная линия — с весами обратно пропорциональными квадрату страйка. Число опционов увеличивается, а расстояние между страйками уменьшается от верхнего графика к нижнему

Таким образом, Variance Vega портфеля, состоящего из опционов всех страйков, взвешенных обратно пропорционально квадрату страйка, не зависит от цены базового актива. Это как раз то, что нужно для торговли дисперсией. Как выглядит подобный портфель опционов, и каким образом торговля этим портфелем зависит от дисперсии базового актива?

В момент экспирации, когда t=T, можно показать, что суммарная выплата всех опционов указанного выше портфеля равна:

Аналогично, в момент времени t, просуммировав все цены опционов, стоимость портфеля составит:

Variance Vega данного портфеля:

Первое слагаемое в выплате по портфелю из формулы (11) описывает 1/S_* форвардных контрактов на акцию с ценой поставки S_t. Это не опцион, это линейный актив, который может быть статически захеджирован, один раз и на весь период, без каких либо оценок волатильности акции. Второе слагаемое log(S_*/S_t) описывает короткую позицию по log-контракту с расчетной ценой S_*. Хеджирование данного контракта зависит от волатильности акции. Таким образом, чувствительность портфеля к волатильности базового актива полностью содержит в себе log-контракт.

Предположим, что динамику цен базового актива можно описать с помощью уравнения:

Для упрощения предположим также, что дивиденды по акциям не начисляются.
Формула для дисперсии случайного процесса имеет вид:

Процедура оценки свопа ничем не отличается от процедуры оценки любого другого производного инструмента. Стоимость форвардного контракта F на будущую реализованную волатильность со страйком K равна ожидаемой выплате в текущих ценах под риск нейтральной мерой:

r — безрисковая ставка, соответствующая времени T;
E — математическое ожидание.

Справедливой стоимостью будущей реализованной дисперсии является страйк K_var, для которого текущая стоимость контракта равна нулю:

Используя формулы (13) и (15), получаем формулу для вычисления справедливой стоимости дисперсии:

Применив лемму Ито для log S_t, находим:

Вычитая (17) из (12), получаем:

Просуммировав (18) от 0 до T, получаем:

Формула (19) предлагает метод вычисления справедливой стоимости дисперсии. При этом риск-нейтральное ожидаемое значение правой части формулы представляет собой стоимость репликации:

Ожидаемое значение первого слагаемого в скобках в формуле (20) составляет стоимость ребалансировки портфеля, состоящего из 1/S_t. В риск-нейтральном мире с постоянной безрисковой ставкой цена хеджирования такого портфеля составит:

Для определения границы между ликвидными put и call опционами введем параметр S_*, обозначающий эту границу. Выплату по log-контракту представим в виде:

Второе слагаемое в правой части (22) — это константа, не зависящая от финальной цены акции S_T, следовательно, должно быть реплицировано только первое слагаемое. Как его повторить известно из формулы (8) — это форвардный контракт плюс портфель опционов с весами обратными квадрату величины страйка:

Справедливое значение будущей дисперсии может быть связано с начальным справедливым значением каждого слагаемого в формуле (21). Используя равенства (21) и (23), получаем:

где P(K) и C(K) означают, соответственно, текущие справедливые цены put и call опционов со страйком K. Если используются текущие рыночные цены опционов, получается текущая рыночная оценка будущей дисперсии. Именно эта формула лежит в основе расчета индекса волатильности VIX.

Формула (4) —это дискретная копия формулы (24), из которой убраны первые три слагаемых (вероятно, для упрощения). Определенные интегралы представлены в виде соответствующих сумм. Последнее слагаемое в формуле (4) — это элемент корректировки в случаях, когда цена форварда F не совпадает с центральным страйком K₀.

Заключение

В основе расчета индекса волатильности российского рынка RVI лежит методика вычисления индекса волатильности VIX Чикагской биржи. Согласно данной методике значение индекса представляет собой взвешенное среднее волатильностей двух опционных серий. Данное усреднение предполагает, что в результате получится значение волатильности, соответствующее 30-дневному периоду. Методика расчета волатильности для каждой опционной серии, участвующей в расчетах VIX (и RVI), основывается на теории оценки свопов волатильности, подробно описанной в [3]. Моделирование справедливой стоимости свопа волатильности имеет ряд допущений, одно (и основное, по мнению автора) из них — это то, что динамика цен представляет собой геометрическое броуновское движение, т.е. непрерывный процесс без скачков (jumps). Это допущение может послужить причиной недооценки волатильности индексами VIX и RVI.

Источник