Что такое икосаэдрическая система координат
Икосаэдр
Поскольку у него три вершины на грань и пять граней на вершину, символ Шлефли правильного икосаэдра равен <3,5>.
Резюме
Геометрия правильного выпуклого икосаэдра
Узоры икосаэдра
Мы все еще можем построить икосаэдр, используя образец, показанный на рисунке 1. Икосаэдр получается путем приклеивания свободной стороны желтого треугольника вверху слева к свободной стороне оранжевого треугольника внизу справа. Затем приближают 5 красных треугольников, соединенных с оранжевыми, так, чтобы их свободные вершины сливались в одну точку. Та же операция, проделанная с 5 красными треугольниками, соединенными с желтыми треугольниками, завершает построение икосаэдра. Представленный здесь узор является примером, существует множество других. Есть 43380.
Характеристики
У икосаэдра 20 граней. Он имеет 12 вершин, 1 внизу, 5 у нижнего основания зубцов, описанных в первой конструкции, и столько же для верхней чаши. У него 30 ребер: каждая из 12 вершин является общей для 5 ребер, или 60, но поскольку ребро содержит 2 вершины, вам нужно разделить 60 на 2, чтобы получить правильный результат.
Это свойство проиллюстрировано на рисунке 4. Каждая грань куба содержит две вершины и ребро многогранника. Куб содержит 6 граней, значит, 12 вершин.
Симметрия
Ось такого поворота обязательно проходит через центр многогранника и проходит либо через вершину, либо через середину ребра, либо через середину грани.
Фиг.6 иллюстрирует случай вращения (ненулевого угла), ось которого проходит через центр двух противоположных граней. Такое вращение должно переставлять три вершины каждой из этих двух граней, так что это треть оборота. Тот же метод, что использовался ранее, на этот раз группирует вершины в четыре набора. По построению два крайних множества являются гранями. Они представляют собой равносторонние треугольники одинакового размера, повернутые на пол-оборота друг относительно друга. Две центральные группы, выделенные фиолетовым на рисунке, также представляют собой более крупные равносторонние треугольники. Поворот на пол-оборота необходим, чтобы два треугольника, расположенные один рядом с другим, совпали.
На пару граней приходится 2 оборота по трети оборота. Тело содержит 20 граней; мы делаем вывод, что существует 20 поворотов такого рода.
Замечательные фигуры икосаэдра
Симметрии порядка 3 и 5 представляют плоские геометрические фигуры, связанные с этими симметриями.
Для каждой пары граней есть 2 маленьких равносторонних треугольника и 2 больших, что в сумме составляет 12 маленьких равносторонних треугольников и столько же больших.
Двойной многогранник
Используя правильный многогранник, можно построить новый, вершины которого будут центрами граней исходного тела. Двойственное к платоническому телу по-прежнему является платоновым телом.
Симметрия, которая оставляет икосаэдр глобально инвариантным, также оставляет инвариантными все середины его граней. Мы заключаем, что любая симметрия икосаэдра также является симметрией додекаэдра. Напротив, те же рассуждения показывают, что любая симметрия додекаэдра также является симметрией икосаэдра. Два набора изометрий, связанных с двумя двойственными многогранниками, одинаковы. Здесь термин симметрия используется в смысле изометрии.
Характерные количества
В следующей таблице представлены различные характерные размеры правильного выпуклого икосаэдра:
Очарование икосаэдра
Математическая структура икосаэдра, Платоновы тела
Строительство по координатам
В первой части статьи представлены несколько результатов, но нет доказательств. Само существование правильного выпуклого икосаэдра не доказано. Простой метод состоит в определении точек, кандидатов в вершины правильного выпуклого многогранника. Используемый здесь подход заключается в нахождении набора точек E, обладающих 4 свойствами, которые проверяются, если эти точки являются вершинами икосаэдра:
Последнее свойство является следствием устойчивости икосаэдра при трех оборотах на пол-оборота и перпендикулярных осях два на два. Для простых вычислений рекомендуется установить длину ребра равной 2 и расположить крайнее правое, параллельно оси y. Получаем следующие координаты:
Эти координаты также позволяют вычислить характеристические постоянные икосаэдра, описанные в предыдущем абзаце.
Предыдущее уравнение допускает единственное положительное решение. По определению, это значение равно золотому сечению.
Для строгости необходимо показать, что выпуклая оболочка точек E действительно образует правильный многогранник. Прямое вычисление немного утомительно, следующий абзац предлагает альтернативное доказательство. Анализ представлений группы из 60 элементов показывает, что существует Платоново твердое тело с 12 вершинами, содержащее равносторонние треугольники в качестве граней, и что 12 вершин расположены на сфере. Он также показывает наличие 3-х поворотов на пол-оборота и ортогональных осей два на два. Поскольку 12 точек E соответствуют единственному решению, за исключением одного поворота, подтверждающего эти свойства, если длина ребра равна 2, его выпуклая оболочка обязательно является правильным икосаэдром.
Расчет нормы М позволяет окончательно определить:
Зная объем икосаэдра, можно завершить расчет:
Группа симметрии
Приложения
Икосаэдр
| Икосаэдр | |
|---|---|
 анимация | |
| Тип | Правильный многогранник |
| Грань | Правильный треугольник |
| Граней | 20 |
| Рёбер | 30 |
| Вершин | 12 |
| Граней при вершине | 5 |
| Площадь |  |
| Объем |  |
| Радиус вписанной сферы |  |
| Радиус описанной сферы |  |
| Группа симметрии | Икосаэдрическая (Ih) |
| Двойственный многогранник | додекаэдр |
Икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.
Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:
площадь:
объём:
радиус вписанной сферы:
радиус описанной сферы:
Содержание
Свойства
Усечённый икосаэдр
Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии.
Многогранники
капсомера (СР) на 1 виток
