Что такое группы чисел

21.09.202323.09.2023 admin 0 Comments

Группа

Определение:

Моноид [math]\langle G,\cdot\rangle[/math] называется группой, если для каждого элемента существует обратный: [math]\forall x\in G : \exists x^ <-1>\in G : x\cdot x^<-1>=x^<-1>\cdot x=e[/math] где [math]e[/math] — нейтральный элемент моноида.

Утверждение (О единственности обратного элемента):

Действительно, пусть [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] — два обратных к [math]x[/math] элемента. Тогда имеем:

[math]y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Содержание

Абелева группа [ править ]

Примеры групп [ править ]

Группа целых чисел [math]\mathbb[/math] [ править ]

Группа остатков по модулю [math]n[/math] — [math]\mathbb/n\mathbb[/math] [ править ]

Множество целых чисел от нуля до [math]n-1[/math] включительно с операцией сложения по модулю [math]n[/math] образует абелеву группу. Пишут

Примеры неабелевых групп [ править ]

Группа движений плоскости [math]Isom(\mathbb^2)[/math] [ править ]

Множество всех движений плоскости с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент — тождественное отображение. Обратный — обратное отображение.

Группа симметрий фигуры [ править ]

Группа перестановок [math]S_n[/math] (симметрическая группа степени [math]n[/math] ) [ править ]

Группа четных перестановок [math]A_n[/math] (знакопеременная группа степени [math]n[/math] ) [ править ]

Образована всеми перестановками со знаком +1. Композиция не выводит из множества, т.к. при композиции знаки перестановок перемножаются.

Невырожденные матрицы над полем [math]\mathbb[/math] ( [math]\mathbb,\mathbb,\mathbb_p. [/math] ) вместе с операцией матричного умножения образуют группу. Нейтральным элементом является единичная матрица, обратным — обратная матрица.

Поскольку при перемножении матриц перемножаются и их определители, матричное умножение не выводит из множества матриц с единичным определителем, и это множество образует группу (учитывая существование единичных и обратных матриц). Нейтральный элемент — единичная матрица, обратный — обратная матрица.

Группа подстановок [ править ]

Подстановка — взаимно однозначное отображение конечного множества на себя.

Если некоторая совокупность подстановок замкнута относительно композиции отображений, определяющей бинарную операцию для подстановок на одном и том же множестве, то эта совокупность называется группой подстановок.

Источник

Разряды и классы чисел

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

От количества цифр в числе зависит его название.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Названия классов многозначных чисел справа налево:

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще чтобы визуально разделить классы чисел.

Разрядные единицы обозначают так:

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши курсы по математике!

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.

Источник

Группа (алгебра)

Гру́ппа — в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Всем знакомые вещественные числа наделены сложением — операцией, обладающей некоторым набором свойств. Похожими свойствами обладают и многие другие из объектов, которые изучает математика, — например, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Теория групп занимается изучением взаимосвязей между этими свойствами в общем виде. Структура группы включается в различные другие алгебраические структуры, такие как поля, векторные пространства или группы Ли. Кроме того, группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях.

Содержание

Определения

Связанные определения

Примеры

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющяя операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

Простейшие свойства

Получение новых групп из уже известных

Обобщения

См. также

Научная литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Группа (алгебра)» в других словарях:

Алгебра Хопфа — Алгебра Хопфа алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа. Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в… … Википедия

ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… … Физическая энциклопедия

Группа Ли — Группа (математика) Теория групп … Википедия

Группа Шрёдингера — Группа Шрёдингера это группа симметрии свободного уравнения Шрёдингера. Содержание 1 Алгебра Шрёдингера 2 Роль группы Шрёдингера в математической физике … Википедия

Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида где элементы a, b, c принадлежат какому либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется: кольцо вещественных чисел так называемая непрерывная группа Гейзенберга,… … Википедия

Алгебра Темперли — Алгебра Темперли Либа, в статистической механике алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер матрицы. Открыты Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Также алгебра применяется в теории интегрируемых моделей, имеет отношение… … Википедия

АЛГЕБРА МЕР — алгебра М(G).комплексных регулярных борелевских мер на локально компактной абелевой группе G, имеющих ограниченную вариацию, с обычными линейными операциями и сверткой в качестве умножения (см. Гармонический анализ абстрактный). Свертка полностью … Математическая энциклопедия

АЛГЕБРА С ДЕЛЕНИЕМ — алгебра Анад полем F, для любых элементов и bк рой уравнения разрешимы в А. Ассоциативная А. с д., рассматриваемая как кольцо, является телом, а ее центр С полем и Если то А. с д. Аназ. центральной А. с д. Конечномерные центральные ассоциативные… … Математическая энциклопедия

ГРУППА СУСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ — группа, элементы или подгруппы к рой удовлетворяют тому или иному условию конечности. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существуют бесконечные группы, к рые им не обладают … Математическая энциклопедия

Источник

Группа (математика)

Существуют математические объекты не являющиеся числами, но над ними мы имеем возможность совершать алгебраические действия. Свойства этих действий напоминают свойства действий над числами. Это делает необходимой сформулировать более общие понятия.

Определение 1. Полугруппой называется множество, в котором определено действие, сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов этого множества третий элемент − результат действия. Предполагается, что действие ассоциативно, т.е.

где ○− знак действия.

Если операция коммутативна, т.е.

Рассмотрим примеры групп:

1. Множество всех целых чисел относительно сложения.

Действительно, операция сложения ассоциативна (a+b)+c=a+(b+c). Нейтральным элементом является 0 (a+0=0+a=a). Наконец, обратным для элемента а является −a ( a+(−a)=(−a)+a=0).

2. Множество положительных рациональных чисел относительно умножения.

Покажем, что это множество удовлетворяет всем трем пунктам определения 2. Ассоциативность очевидна ( (ab)c=a(bc) ). Нейтральным элементом является 1 ( a·1=1·a=a ).И, наконец, обратным элементом для a является ().

3. Множество квадратных матриц относительно сложения.

Ассоциативность сложения очевидно следует из правил сложения матриц (a+b)+c=a+(b+c). Нейтральным элементом является нулевая матрица, а обратным (противоположным) элементом является нулевая матрица.

Все вышеизложенные примеры групп являются также коммутативными. Приведем пример некоммутативной группы.

4. Множество квадратных невырожденных матриц относительно умножения.

Действительно. Ассоциативность умножения матриц сохраняется. Нейтральным элементом является единичная матрица. Единичная матрица является невырожденной, умножение невырожденных матриц будет невырожденным, следовательно всегда существует обратная матрица. При множестве матриц порядка n≥2 мы имеем дело с некоммутативной группой т.к. умножение матриц в общем случае некоммутативна ab≠ba.

Источник

Группа (математика)

Гру́ппа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Примерами групп являются вещественные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.

Содержание