Что такое евклидова геометрия
Евклидова геометрия
Полезное
Смотреть что такое «Евклидова геометрия» в других словарях:
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, система геометрии, основанная на АКСИОМАХ, сформулированных в книге ЕВКЛИДА «Начала». Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы… … Научно-технический энциклопедический словарь
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — (элементарная геометрия) (см.) пространства, описываемая системой аксиом и постулатов, изложенных древнегреческим математиком и астрономом Евклидом (III в. до н. э.) в его главном труде «Начала». Древние понятия и преобразования, приведенные в… … Большая политехническая энциклопедия
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА геометрия, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Современная энциклопедия
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.) Длительный процесс… … Большой Энциклопедический словарь
Евклидова геометрия — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Евклидова геометрия — (или элементарная геометрия) геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.). Содержание 1 Основные сведения 2 Аксиоматика … Википедия
евклидова геометрия — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в «Началах» Евклида. Возникновение евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (например, прямые линии натянутые нити и т. п.). Длительный… … Энциклопедический словарь
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систе матич. построение к рой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Е. г. связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.). Длит. процесс углубления наших… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Евклидова геометрия — геометрия, построенная на базе аксиом абсолютной геометрии (являющейся общей частью как евклидовой, так и геометрии Лобачевского) и знаменитой аксиомы Евклида о параллельных (через точку А, не принадлежащую прямой а, в плоскости, определяемой… … Начала современного естествознания
Евклидова геометрия
Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).
Содержание
Основные сведения
Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. Так, к элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.
Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.
Аксиоматика
Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.
В «Началах» Евклида была дана следующая аксиоматика:
Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту.
В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.
Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Евклидова геометрия» в других словарях:
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, система геометрии, основанная на АКСИОМАХ, сформулированных в книге ЕВКЛИДА «Начала». Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы… … Научно-технический энциклопедический словарь
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — (элементарная геометрия) (см.) пространства, описываемая системой аксиом и постулатов, изложенных древнегреческим математиком и астрономом Евклидом (III в. до н. э.) в его главном труде «Начала». Древние понятия и преобразования, приведенные в… … Большая политехническая энциклопедия
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — ЕВКЛИДОВА геометрия, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Современная энциклопедия
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.) Длительный процесс… … Большой Энциклопедический словарь
Евклидова геометрия — ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, геометрия, описывающая простейшие свойства физического пространства. Исходными объектами евклидовой геометрии являются точки, прямые, плоскости. Основные положения евклидовой геометрии сосредоточены в системе аксиом, первая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
евклидова геометрия — геометрия, систематическое построение которой было осуществлено в «Началах» Евклида. Возникновение евклидовой геометрии связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (например, прямые линии натянутые нити и т. п.). Длительный… … Энциклопедический словарь
Евклидова геометрия — геометрия, систематическое построение которой было впервые дано в 3 в. до н. э. Евклидом. Система аксиом Е. г. опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: «точка лежит на прямой на… … Большая советская энциклопедия
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, систе матич. построение к рой было осуществлено в Началах Евклида. Возникновение Е. г. связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (напр., прямые линии натянутые нити и т. п.). Длит. процесс углубления наших… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Евклидова геометрия — геометрия, построенная на базе аксиом абсолютной геометрии (являющейся общей частью как евклидовой, так и геометрии Лобачевского) и знаменитой аксиомы Евклида о параллельных (через точку А, не принадлежащую прямой а, в плоскости, определяемой… … Начала современного естествознания
Евклидова (элементарная) геометрия
Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».
Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».
В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:
Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.
В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:
Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире. Углубленное проникновение в суть геометрии привело к более абстрактному пониманию науки. Более поздние достижения и открытие показали, что наши представления о пространстве являются априорными, то есть чисто умозрительные. Таким образом было поставлено под сомнение существование единственной геометрии. бурное развитие физики и астрономии, доказало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего пространства, но вовсе не способна описать свойства пространства, связанные с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Русский математик Н. И. Лобачевский разработал новую неевклидову геометрию, которая приблизилась к реальному описанию физического пространства.
Что такое евклидова геометрия
В число новых предметов учебного плана 7 класса входит геометрия. К изучению этого раздела математике школьников готовят ещё с 1 класса. И в течение пяти лет они овладевают геометрическими образами, фактами и терминами.
Еще хранится в Британском музее папирус Ахмеса. В этом папирусе рассмотрено решение 84 прикладных задач, в том числе 20 геометрических. Особую роль в дальнейшем развитии геометрии сыграло накопление геометрических знаний в Египте и в Вавилоне. Около двух с половиною тысяч лет назад греки начинают заимствовать геометрические познания у египтян и вавилонян. В Греции эти знания сначала почти исключительно применяются к измерению земельных участков. Отсюда и появляется греческое название “геометрия”. Первым испытал свои силы в написании такого сочинения геометрии 5 в. до н.э. Гиппократ Хиосский, научная деятельность которого протекала в Афинах. В основу своих геометрических знаний Гиппократ положил простейшие геометрические свойства, подтверждённые многовековым опытом человечества. Остальные же предложения геометрии он стремился вывести из исходных путем рассуждений.
Следующем этапом стала теоретическое сочинение по математике “Начала” Евклида. ”Начала” и является главной из всех работ Евклида. ”Начала” составлены по чёткой логической схеме, выработанной до Евклида. В соответствии с ней сначала формулируется определения и аксиомы, а затем такие предложения, которые сопровождаются доказательствами. “Начала” состоит из 13 книг. Которые из них 9 геометрических, а первые 6 книг посвящены планиметрии и последние 3- стереометрии. Первая книга начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек. Первые четыре книги «Начал» посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.
В книге 1 даны определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: «точка есть то, что не имеет частей», «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину», и т.д. За этими определениями следуют пять требований или постулатов:
Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных – самый знаменитый. Затем Евклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы ко всем наукам. Аксиомы – это такие очевидные вещи, которые, по словам Аристотеля, «необходимо знать каждому, кто будет что-то изучать». Постулат – это лишь принцип, который геометр предлагает принять своему собеседнику, но который не является ни «очевидным», ни «аксиоматическим» и который можно отвергнуть, не приходя к противоречию.
Сформулировав определения, постулаты и аксиомы, Евклид доказывает в книге 1 свойства треугольников среди которых – условия равенства, причем два треугольника равны, если они совмещаются при наложении. Далее описывается построения биссектрисы угла, отрезка и перпендикуляра к прямой. В эту книгу включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур.
В книге 2 заложены основы так называемой геометрической алгебры. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Произведение двух чисел, АВ, таким образом, – не что иное, как площадь прямоугольника со сторонами А и В. Произведение трех чисел – объем.
Книга 3 целиком посвящена геометрии окружности, а в книге 4 изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.
Книга 5 написана на более высоком уровне, а теория отношений, которая в ней изучается, – вещь очень тонкая. Теория пропорций представляет собой шедевр математической литературы всех времен. На протяжении многих веков она интересовала математиков. Однако построение множества чисел не входило в намерение Евклида, он лишь стремился обосновать измерение величин.
Евклид включает в понятие величины длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы, хотя нигде об этом не писал. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, избегая также обращение к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Книга 6 также посвящена планиметрии.
В книгах 7-9 изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входят теории делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.
Книга 10 читается с трудом, но считается одной из самых тонких; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямым и прямоугольниками.
Книга 11 посвящена стереометрии. В книге 12, с помощью метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги 13 является построение правильных многогранников.
Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Древнейший из их, написанный Проклом, является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В частности, Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т.н. Эвдемов обзор), обсуждает весьма непростую взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль созерцания в доказательствах (фрагмент из Порфирия). Из древних комментаторов следует упомянуть еще Паппа, из новых Пьера Рамуса,Федериго Коммандино, Христофа Шлюсселя (Клавия) и Савелиуса.
«Начала» – не единственный труд Евклида, ему принадлежат, кроме того:
Евклидова геометрия
Оглавление
Геометрия Евклида
В соответствии с этой аксиоматической структурой более двух тысяч лет преподавалась геометрия. Фраза «more geometryo» (лат. «В манере (евклидовой) геометрии») до сих пор служит ссылкой на строго дедуктивную аргументацию.
Евклид делает это следующим образом:
Определения
Элементы дают в общей сложности 35 определений.
Постулаты
Аксиомы евклида
Проблемы и теоремы
Пример : «Постройте равносторонний треугольник над заданным маршрутом».
Пример : «Если в треугольнике два угла равны, стороны, противоположные этим углам, также должны быть равны друг другу».
Для решения проблемы или доказательства теоремы в основном используются только определения, постулаты и аксиомы, а также ранее доказанные теоремы и конструкции из ранее решенных задач.
Геометрия и реальность в Евклиде
Отличия от чисто аксиоматической теории
С сегодняшней точки зрения, элементы не соответствуют требованиям аксиоматической теории :
Отсюда следует, что в умозаключениях неизбежно используются различные невысказанные предположения.
Современная аксиоматическая теория
Подход Гильберта
Дэвид Гильберт использует «три разные системы вещей», а именно точки, линии и плоскости, о которых он говорит только: «Мы думаем (они) о нас». Об этих вещах следует «думать» в «трех основных отношениях» друг с другом, а именно «ложь», «между» и «конгруэнтность». Чтобы связать эти «вещи» и «отношения», он затем разбивает 21 аксиому на пять групп:
Геометрия и реальность в Гильберте
Другие системы аксиом
Установленные позже системы аксиом в основном эквивалентны системе аксиом Гильберта. Они учитывают прогресс математики.
Возможная аксиоматизация дается аксиомами абсолютной геометрии вместе со следующей аксиомой, которая эквивалентна аксиоме параллелей в предположении других аксиом абсолютной геометрии:
У каждой прямой есть своя параллель. Если две прямые параллельны третьей, то они тоже параллельны друг другу.
Евклидова и неевклидова геометрия
Неевклидовы геометрии и реальность
Могут ли неевклидовы геометрии (есть разные) описывать реальное пространство, ответят по-разному. В основном они понимаются как чисто абстрактные математические теории, которые заслуживают названия «геометрия» только из-за схожести терминов и систем аксиом.
Аналитическая геометрия плоскости и пространства
Можно рассматривать аналитическую геометрию как модель аксиоматической теории. Затем он обеспечивает доказательство непротиворечивости системы аксиом (которая, однако, является непротиворечивой основой действительных чисел, которую следует принимать как должное).
Евклидова геометрия как теория измерения
В аналитической геометрии размеры углов могут быть определены с помощью скалярного произведения векторов.
Обобщение для более высоких измерений
Как аналитическая геометрия, евклидова геометрия может быть легко обобщена для любого (также бесконечного) числа измерений.
Количество размеров не ограничено и не обязательно должно быть конечным. Для каждого кардинального числа a может быть определено евклидово пространство размерности.
Связанные области
Если опустить аксиомы расположения и непрерывности, аффинная и проективная геометрии также могут состоять из конечного числа точек.
В синтетической геометрии понятие евклидовой плоскости обобщается таким образом, что именно те плоскости, чьи аффинные координаты лежат в евклидовом теле, являются евклидовыми плоскостями.