Что такое единичная сфера
единичная сфера
Смотреть что такое «единичная сфера» в других словарях:
Единичная окружность — Единичная окружность это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n мерного пространства ( ). В таком случае используется термин «единичная сфера». Для всех точек на… … Википедия
Гиперсфера — Стереографическая проекция поверхности 3 сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3 сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исход … Википедия
БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… … Математическая энциклопедия
ЛОРЕНЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — преобразование координат, связывающее две галилеевы системы координат в каком либо псевдоевклидовом пространстве;иными словами, Л. п. сохраняет квадрат т. н. интервала событий. Л. п. является аналогом ортогональных преобразований (или обобщением… … Математическая энциклопедия
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ — в непосредственном понимании Двумерная поверхность трехмерного евклидова пространства, к рая в каждой своей точке имеет отрицательную гауссову кривизну К Математическая энциклопедия
СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши. В зависимости от размерности многообразия, по к рому распространены интегралы, различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению… … Математическая энциклопедия
СФЕР ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ — объект изучения классич. теории гомотопий. Вычисление С. г. г. в свое время (особенно в 50 х гг.) рассматривалось как одна из центральных задач топологии. Топологи надеялись, что эти группы удастся полностью вычислить и что с их помощью можно… … Математическая энциклопедия
Единичный квадрат — квадрат в прямоугольных координатах, левый нижний угол которого находится в начале координат и имеет длины сторон по единице. The unit square in the real plane. Значит, его вершины имеют координаты … Википедия
Единичный куб — Единичный куб это куб, длина ребра которого равна 1. Иногда требуют также чтобы одна вершина находилась в начале координат и все рёбра были параллельны осям системы координат. Объем единичного куба 1, площадь поверхности 6. Unit … Википедия
Теорема Куранта-Фишера — линейный самосопряженный оператор действующий в конечномерном комплексном или действительном просторанстве, единичная сфера. ортонормированный базис пространства … Википедия
Единичная окружность
Единичная окружность в тригонометрии
Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.
Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.
Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.
Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.
Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.
В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.
Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.
Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.
Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:
Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:
Радиан — одна из мер для определения величины угла.
Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.
Число радиан для полной окружности — 360 градусов.
Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.
Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.
Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Уравнение единичной окружности
При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:
СОДЕРЖАНИЕ
Уравнения в трехмерном пространстве
Сфера любого радиуса с центром в нуле является интегральной поверхностью следующей дифференциальной формы :
Закрытый том
При любом заданном x дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поперечного сечения диска в точке x на его толщину ( δx ):
В пределе, когда δx приближается к нулю, это уравнение принимает вид:
Использование этой замены дает
которые можно оценить, чтобы дать результат
Альтернативная формула находится с использованием сферических координат с элементом объема
Площадь поверхности
Площадь поверхности сферы радиуса r равна:
При любом заданном радиусе r дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поверхности радиуса r ( A ( r ) ) на толщину оболочки ( δr ):
В пределе, когда δr приближается к нулю, это уравнение принимает вид:
Дифференцируя обе части этого уравнения по r, получаем A как функцию от r :
Обычно это сокращается как:
где r теперь считается фиксированным радиусом сферы.
Таким образом, общая площадь может быть получена путем интегрирования :
Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех поверхностей, которые охватывают данный объем, и она включает в себя наибольший объем среди всех закрытых поверхностей с данной площадью поверхности. Таким образом, сфера появляется в природе: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, потому что поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.
Площадь поверхности относительно массы шара называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как
Геометрические свойства
Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этого круга.
Карандаш сфер
Терминология
Плоские секции
Отрасли геометрии
Неевклидово расстояние
Сферическая геометрия имеет много свойств, аналогичных евклидовой, когда-то снабженной этим « расстоянием по дуге большого круга ».
Дифференциальная геометрия
Проективная геометрия
География
Поляки, долгота и широта
Топология
Сферическая геометрия
Кривые на сфере
Круги
Локсодромия
Клелия кривые
Сферические коники
Многие теоремы, касающиеся плоских конических сечений, распространяются и на сферические коники.
Пересечение сферы с более общей поверхностью
Если сфера пересекается другой поверхностью, могут быть более сложные сферические кривые.
Одиннадцать свойств сферы
Локус постоянной суммы
Обобщения
Размерность
Другое выражение для площади поверхности:
Метрические пространства
Галерея
Колода игральных карт с изображением инженерных инструментов, Англия, 1702 год. Пиковый король : Сферы.
СОДЕРЖАНИЕ
Уравнения в трехмерном пространстве
Сфера любого радиуса с центром в нуле является интегральной поверхностью следующей дифференциальной формы :
Закрытый том
При любом заданном x дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поперечного сечения диска в точке x на его толщину ( δx ):
В пределе, когда δx приближается к нулю, это уравнение принимает вид:
Использование этой замены дает
которые можно оценить, чтобы дать результат
Альтернативная формула находится с использованием сферических координат с элементом объема
Площадь поверхности
Площадь поверхности сферы радиуса r равна:
При любом заданном радиусе r дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поверхности радиуса r ( A ( r ) ) на толщину оболочки ( δr ):
В пределе, когда δr приближается к нулю, это уравнение принимает вид:
Дифференцируя обе части этого уравнения по r, получаем A как функцию от r :
Обычно это сокращается как:
где r теперь считается фиксированным радиусом сферы.
Таким образом, общая площадь может быть получена путем интегрирования :
Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех поверхностей, которые охватывают данный объем, и она включает в себя наибольший объем среди всех закрытых поверхностей с данной площадью поверхности. Таким образом, сфера появляется в природе: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, потому что поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.
Площадь поверхности относительно массы шара называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как
Геометрические свойства
Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этого круга.
Карандаш сфер
Терминология
Плоские секции
Отрасли геометрии
Неевклидово расстояние
Сферическая геометрия имеет много свойств, аналогичных евклидовой, когда-то снабженной этим « расстоянием по дуге большого круга ».
Дифференциальная геометрия
Проективная геометрия
География
Поляки, долгота и широта
Топология
Сферическая геометрия
Кривые на сфере
Круги
Локсодромия
Клелия кривые
Сферические коники
Многие теоремы, касающиеся плоских конических сечений, распространяются и на сферические коники.
Пересечение сферы с более общей поверхностью
Если сфера пересекается другой поверхностью, могут быть более сложные сферические кривые.
Одиннадцать свойств сферы
Локус постоянной суммы
Обобщения
Размерность
Другое выражение для площади поверхности:
Метрические пространства
Галерея
Колода игральных карт с изображением инженерных инструментов, Англия, 1702 год. Пиковый король : Сферы.
единичная сфера
Смотреть что такое «единичная сфера» в других словарях:
Единичная окружность — Единичная окружность это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n мерного пространства ( ). В таком случае используется термин «единичная сфера». Для всех точек на… … Википедия
Гиперсфера — Стереографическая проекция поверхности 3 сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3 сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исход … Википедия
БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… … Математическая энциклопедия
ЛОРЕНЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — преобразование координат, связывающее две галилеевы системы координат в каком либо псевдоевклидовом пространстве;иными словами, Л. п. сохраняет квадрат т. н. интервала событий. Л. п. является аналогом ортогональных преобразований (или обобщением… … Математическая энциклопедия
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ — в непосредственном понимании Двумерная поверхность трехмерного евклидова пространства, к рая в каждой своей точке имеет отрицательную гауссову кривизну К Математическая энциклопедия
СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши. В зависимости от размерности многообразия, по к рому распространены интегралы, различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению… … Математическая энциклопедия
СФЕР ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ — объект изучения классич. теории гомотопий. Вычисление С. г. г. в свое время (особенно в 50 х гг.) рассматривалось как одна из центральных задач топологии. Топологи надеялись, что эти группы удастся полностью вычислить и что с их помощью можно… … Математическая энциклопедия
Единичный квадрат — квадрат в прямоугольных координатах, левый нижний угол которого находится в начале координат и имеет длины сторон по единице. The unit square in the real plane. Значит, его вершины имеют координаты … Википедия
Единичный куб — Единичный куб это куб, длина ребра которого равна 1. Иногда требуют также чтобы одна вершина находилась в начале координат и все рёбра были параллельны осям системы координат. Объем единичного куба 1, площадь поверхности 6. Unit … Википедия
Теорема Куранта-Фишера — линейный самосопряженный оператор действующий в конечномерном комплексном или действительном просторанстве, единичная сфера. ортонормированный базис пространства … Википедия