Что такое единичная матрица

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

Источник

Что такое единичная матрица

Трудно представить себе систему чисел, которая бы не содержала единичный элемент. В частности, именно единица является результатом умножения числа a на ему обратное. Алгебра любых объектов (вещественных или комплексных чисел, векторов и так далее) должна включать в себя единичный элемент. Не является исключением и матричная алгебра, в которой роль единицы играет диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице.

В качестве определения единичной матрицы могло бы выступать примерно такое.

Матрица E называется единичной, если при умножении на нее любой матрицы A (слева и справа) матрица A остается неизменной: AE = EA = A.

Связано это с тем, что операция умножения определена не для любых матриц и, следовательно, требуется определенное согласование размеров иатриц-сомножителей. В результате под единичной матрицей понимается матрица вышеуказанной структуры, порядок которой выбирается таким, чтобы соответствующее произведение было определено.

.

(1)

В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

Рассмотрим теперь i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица m-го порядка:

Источник

Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Содержание

Определение

Квадратная матрица размера (порядка ), где для всякого , и для всяких , называется единичной матрицей порядка .

Единичную матрицу можно определить как матрицу , у которой , где — символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение

Единичная матрица размера обычно обозначается и имеет вид:

Так же используется и другое обозначение: .

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: , .

Свойства

Примеры

Единичные матрицы первых порядков имеют вид

Замечание

Если взять две матрицы —: матрицу и единичную — то, приведением матрицы к единичной методом Гаусса, можно добиться одновременного приведения матрицы к матрице .

Литература

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Единичная матрица» в других словарях:

единичная матрица — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] единичная матрица Такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу — единицы, а остальные… … Справочник технического переводчика

Единичная матрица — [unit matrix, identity matrix] такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу единицы, а остальные нули, например: Е.м. применяется в процессе обращения матриц, в … Экономико-математический словарь

единичная матрица — vienetinė matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. identity matrix; unit matrix vok. Einheitsmatrix, f rus. единичная матрица, f pranc. matrice unité, f; matrice unitaire, f … Fizikos terminų žodynas

Матрица — [matrix] система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид: Элемент матрицы в общем виде обозначается aij это… … Экономико-математический словарь

матрица — Логическая сеть, сконфигурированная в виде прямоугольного массива пересечений входных/выходных каналов. [http://www.vidimost.com/glossary.html] матрица Система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной… … Справочник технического переводчика

МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ — (статистический оператор), оператор, при помощи к рого можно вычислить ср. значение любой физ. величины в квант. статистич. механике и, в частном случае, в квант. механике. Термин «М. п.» связан с тем, что статистич. оператор задаётся обычно в… … Физическая энциклопедия

Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Матрица поворота — Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения … Википедия

Матрица Адамара — Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Матрица … Википедия

Источник

Единичная матрица

Содержание:

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице , называется единичной матрицей и обозначается символом .

Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

(2)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

для любых допустимых значений индексов , следовательно, АЕ = А.

Умножение матрицы на единичную матрицу дает ту же матрицу.

Примеры с решением

Пример 1

диагональная матрица второго порядка,

диагональная матрица третьего порядка.

Определение Если у диагональной матрицы -го порядка Е все диагональные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной матрицей -го порядка.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2

— единичная матрица третьего порядка.

Определение Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю: В отличие от чисел, где число 0 единственно, нулевых матриц бесконечно много, т. к. каждому размеру матриц соответствует нулевая матрица этого размера.

Нетрудно убедиться, что при умножении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел: единичная матрица -го порядка перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

Чтобы доказать это, введем обозначения: АЕ = F, ЕА = G. Используя правило умножения матриц и определение единичной матрицы

(2.13)

находим, что для всех

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Какие бывают матрицы? Виды матриц.

Для начала неплохо бы знать, что такое матрица вообще. Об этом подробно изложено в предыдущем материале.

А какие же матрицы в природе бывают? Об этом мы поговорим прямо здесь и сейчас.

Матрицы бывают разные. Чёрные, белые, красные…) Ээээ… Ну, извините, не удержался… Всякие матрицы бывают.) Принципов классификации матриц великое множество. Но основных принципов, с которыми нам предстоит работать в линейной алгебре, совсем немного. Всего два. Это классификация матриц по размерности и по условиям, налагаемым на их элементы.

Будьте готовы к тому, что в этом уроке, помимо собственно матриц, будет и немного геометрии. Самой примитивной. Для наглядности.) Итак, начнём с классификации матриц по размерности.

Классификация матриц по размерности

Например, даны вот такие четыре матрицы:

Какая размерность будет у каждой из них? Ну, с первыми двумя вопросов нет: в матрице A две строки и три столбца, а в матрице B — три строки и три столбца.

А какая размерность будет у матрицы С? Не всех осеняет сразу…) Очень простая: одна строка и три столбца! Или 1х3. Каждый столбец матрицы С содержит всего по одному элементу. Так бывает.) С последней матрицей D всё аналогично, только наоборот — три строки и один столбец (3x1).

Насочинять можно ещё много чего, но общая суть классификации любых матриц по размерности очень простая. До ужаса.)

Смотрим на картинку:

А теперь вникаем и фиксируем в памяти:

Если в матрице размерности m x n число строк НЕ равно числу столбцов (m≠n), то такая матрица называется ПРЯМОУГОЛЬНОЙ матрицей размерности m x n.

Если же количество строк и столбцов совпадает (m=n), то такую матрицу называют КВАДРАТНОЙ матрицей размерности n x n. Или, по-другому, квадратной матрицей n-го порядка.

Всё элементарно. Совпадает число строк и столбцов — матрица квадратная, не совпадает — прямоугольная.

В нашем случае матрицы A, C и D — прямоугольные, а вот B — квадратная. Размерности «три на три». Или, по-научному, квадратная матрица третьего порядка.

Зачем я вообще рисую картинки, пояснения и так подробно всё расписываю? Да затем, что эти простые понятия надо усвоить железно! До автоматизма. Сами же потом спасибо скажете. На зачёте или экзамене…)

Например, квадратная матрица — важная птица в линейной алгебре! Почему? А потому, что такие важные для высшей математики операции, как, скажем, вычисление определителя и нахождение обратной матрицы возможны только для квадратных матриц! И ни для каких других. Это так, забегая вперёд.)

Отдельные названия заслужили такие прямоугольные матрицы, у которых количество строк или столбцов (или того и другого сразу) равно единичке.

Матрица, состоящая из одной строки, так и называется — матрица-строка.

это матрица-строка размерности 1х3.

Если же матрица состоит только из одного столбца, то, вы удивитесь, она называется… как? Правильно! Матрица-столбец!)

это матрица-столбец. Размерности 3х1.

По-другому матрицу-строку и матрицу-столбец называют ещё вектор-строка и вектор-столбец соответственно. А бывает и совсем коротко — просто «вектор». Именно в виде вот таких вот матриц-векторов принято записывать решения систем линейных (а иногда и дифференциальных!) уравнений. Привыкаем.)

Переходим к типам матриц по элементам.

Классификация матриц по их элементам

А вот с элементами матриц вопрос поинтереснее будет.) Ведь элементы матриц могут быть любыми действительными числами — положительными, отрицательными, целыми, дробными, иррациональными — любыми! Здесь простора для фантазии куда больше будет.

Но, так уж сложилось в процессе развития математики (и линейной алгебры — в частности), что удобнее всего людям работать с самыми простыми числами. Как можно проще! Либо с нулём, либо с единичкой. Проще чисел не найти, правда ведь? Информатика — та вообще только с нулями и единичками работает. Неспроста поди…:)

Поэтому общая идея работы с матрицами (любыми!) у нас будет такая: чем больше в матрице нулей и единичек, тем лучше! И мы в процессе изучения линейной алгебры и решения задач будем неотступно следовать этой идее настолько, насколько это возможно.)

Что такое нулевая матрица?

Запоминаем:

Нулевая матрица — это просто матрица, ВСЕ элементы которой равны нулю. Причём это может быть матрица любой размерности!

Это всё нулевые матрицы. Намёк понятен?) Любая нулевая матрица кратко обозначается буквой «О». Почти как число 0 в обычной арифметике.

Сами по себе нулевые матрицы не так интересны с практической точки зрения. Но для общей эрудиции знать не помешает. Зато следующий зверь в нашем зоопарке — единичная матрица — поинтереснее будет! К ней и переходим.)

Что такое единичная матрица?

Нет, вы не угадали.) Это вовсе не матрица, все элементы которой равны единичке. Здесь всё немножко похитрее будет.)

Хитрость номер один касается размерности единичной матрицы. Здесь всё очень жёстко. Дело в том, что любая единичная матрица, в отличие от нулевой, всегда квадратная. Скажем, два на два. Или пять на пять… И только такая! Это самое главное. Прямоугольных единичных матриц в высшей математике просто не бывает.

Хитрость номер два касается элементов единичной матрицы.

Итак, вникаем и запоминаем:

Единичная матрица — это КВАДРАТНАЯ матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы (вне главной диагонали) — нули.

Что такое главная диагональ? Это воображаемая линия, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. И только так! Как при чтении книги.)

Смотрим на примере единичной матрицы «три на три»:

Что мы видим? Видим, что три элемента главной диагонали a₁₁, a₂₂ и a₃₃ равны по единичке. А все остальные элементы, не стоящие на главной диагонали, — нули. Всё легко и просто.)

Почему, вдруг, именно эта диагональ матрицы заслужила гордое звание главной? А давайте-ка присмотримся к нумерации её элементов:

a₁₁, a₂₂, a₃₃

Ну и как, просекли фишку? Да! Для всех элементов главной диагонали соответствующие номера строки и столбца совпадают! Или, что то же самое, i = j.

И так будет всегда. Для любой квадратной матрицы любого размера. В отличие от второй диагонали, для элементов которой такого удобного и красивого совпадения индексов просто-напросто не получается. Именно поэтому эта второстепенная диагональ и носит название побочной диагонали.

Как занумерованы элементы побочной диагонали? А вот как:

a₁₃, a₂₂, a₃₁

Единичная матрица в математике обозначается заглавной буковкой «Е».

Вот и в матрицах то же самое! Один в один. Ну… почти.) Например, от умножения матрицы А на единичную Е исходная матрица А не меняется. Об этом в теме про умножение матриц и про обратную матрицу будет.)

Ну а коли уж мы затронули такую фишку, как главную диагональ, то переходим к ещё трём типам матриц, с которыми нам предстоит встретиться на просторах линейной алгебры.

Диагональные, треугольные и трапециевидные матрицы.

Эти матрицы — важные персоны при определении таких важных вещей, как ранг матрицы и (особенно!) при решении систем линейных алгебраических уравнений. С такими матрицами в процессе этих двух увлекательных занятий мы с вами будем сталкиваться регулярно.

Что такое диагональная матрица?

Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали — нулевые.

И всё! Есть, правда, и неквадратные матрицы, также называемые диагональными, но в 99% случаев под такой матрицей понимают всё же квадратную.

Смотрим на рисунок и всё видим:

Кстати, прошу заметить одну маленькую, но очень важную деталь. Сами диагональные элементы имеют полное право быть какими угодно — и нулевыми и ненулевыми! Например, нулевая (квадратная) и любая единичная матрица — это всё частные случаи диагональных матриц.

Чем полезна диагональная матрица? Да хотя бы тем, что такая трудоёмкая операция, как вычисление определителя, для такой матрицы осуществляется всего-навсего в одно действие! Да-да! Сами увидите.)

А определитель — очень важная штука в линейной алгебре, между прочим. Да и в аналитической геометрии, в дифференциальных уравнениях и прочих крутых разделах высшей математики тоже.)

А есть ещё такие суперкрутые штучки, как собственные векторы и собственные значения! Та ещё головная боль… Там такая матрица также будет возникать постоянно. Об этих штучках тоже в соответствующей теме подробненько будет.

Что такое треугольная матрица? Что такое трапециевидная матрица?

А такие матрицы у нас постоянно будут возникать при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Возможно, новичкам сейчас не очень понятно, о чём это я вообще, но если вы просто повторяете материал, то этим видам матриц здесь самое место.)

Треугольной матрицей называется любая КВАДРАТНАЯ матрица, все элементы которой над (или под) главной диагональю равны нулю.

Если нулевые элементы находятся под главной диагональю, то такая матрица называется верхней треугольной матрицей. Если же нулевые элементы стоят над главной диагональю, то, соответственно, нижней треугольной.

Матрица А — верхняя треугольная. Матрица В — нижняя треугольная.

Трапециевидная матрица чуть похитрее устроена, но ненамного. Формальное математическое описание такой матрицы (через символы и индексы) в общем виде довольно занудно, а вот конкретные примеры куда нагляднее будут.

Например, такая матрица 6х6:

Видно, что по размерности трапециевидная матрица может быть как квадратной, так и прямоугольной. Но все такие матрицы объединяет одна очень важная отличительная черта. Она заключается в следующем:

1. Число столбцов всегда либо БОЛЬШЕ числа строк (для прямоугольных матриц), либо РАВНО ему (для квадратных).

2. Все элементы, стоящие на главной диагонали, НЕНУЛЕВЫЕ.

3. Все элементы, стоящие НИЖЕ главной диагонали, равны нулю. При этом в матрице могут быть нулевые строки. А могут и не быть. Но, если они есть, то такие строки всегда находятся В САМОМ НИЗУ матрицы.

Зачем всё это добро нам нужно? Треугольные матрицы, трапециевидные… Ещё раз. Новичкам — пока особо незачем. Если вы только-только начинаете изучать матрицы и пока не слишком врубились — не беда. Но вот когда мы с вами дойдём до систем линейных уравнений, то с такими матрицами столкнёмся лицом к лицу. Неизбежно. И вот там я обязательно препровожу вас к изучению этого параграфа, уж будьте готовы.)

Итак, про разнообразные виды матриц поговорили. Как видим, тоже не так уж сложно. А теперь будем потихоньку учиться собственно работать с матрицами — транспонировать, складывать, перемножать, обращать и т.д. Эти темы повеселее будут.)

Источник