Что такое двоичное представление информации

1.4.2 Двоичное представление информации

Видеоурок 1: Двоичная система счисления

Видеоурок 2: Перевод двоичных чисел в другие системы счисления

Лекция: Двоичное представление информации

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это система, в которой используется две цифры: 0 и 1. То есть любое число будет записано комбинацией единиц и нулей.

Начнем с перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему.

Чтобы перевести любое десятичное число в двоичную систему счисления, необходимо делить данное число на 2. Если в результате деление происходит без остатка, то следует записать число 0, если же деление с остатком, то записываем 1 и так до тех пор, пока не будет получен конечный нуль.

Например, переведем число 77 в двоичную систему счисления:

77/2 = 38 (1 остаток)
38/2 = 19 (0 остаток)
19/2 = 9 (1 остаток)
9/2 = 4 (1 остаток)
4/2 = 2 (0 остаток)
2/2 = 1 (0 остаток)
1/2 = 0 (1 остаток)

Теперь мы соберем все остатки с конца, получим: 1001101

Это число и есть 77 в двоичном представлении.

Можно проверить так ли это: 1001101 =1*2 6 +0*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 64+0+0+8+4+0+1=77

Арифметические действия

Как и в десятичной системе счисления, в двоичной можно так же производить различные математические действия. Ниже вы можете увидеть основные правила сложения, вычитания и умножения чисел в двоичной записи числа:

Приведем примеры:

Обратите внимание, если вам необходимо произвести некоторые математические действия над числами, находящимися в различных системах счисления, необходимо сначала перевести их в одну систему и только потом выполнить арифметические действия.

Источник

Информатика. 7 класс

Конспект урока

Кодирование информации. Двоичный код

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Дискретизация информации – процесс преобразования информации из непрерывной формы представления в дискретную. Чтобы представить информацию в дискретной форме, её следует выразить с помощью символов какого-нибудь естественного или формального языка.

Алфавит языка – конечный набор отличных друг от друга символов, используемых для представления информации. Мощность алфавита – это количество входящих в него символов.

Алфавит, содержащий два символа, называется двоичным алфавитом. Представление информации с помощью двоичного алфавита называют двоичным кодированием. Двоичное кодирование универсально, так как с его помощью может быть представлена любая информация.

1. Босова Л. Л. Информатика: 7 класс. // Босова Л. Л., Босова А. Ю. – М.: БИНОМ, 2017. – 226 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для решения своих задач человеку часто приходится преобразовывать имеющуюся информацию из одной формы представления в другую. Например, при чтении вслух происходит преобразование информации из дискретной (текстовой) формы в непрерывную (звук). Во время диктанта на уроке русского языка, наоборот, происходит преобразование информации из непрерывной формы (голос учителя) в дискретную (записи учеников).

Информация, представленная в дискретной форме, значительно проще для передачи, хранения или автоматической обработки. Поэтому в компьютерной технике большое внимание уделяется методам преобразования информации из непрерывной формы в дискретную.

Дискретизация информации – процесс преобразования информации из непрерывной формы представления в дискретную.

Рассмотрим суть процесса дискретизации информации на примере.

На метеорологических станциях имеются самопишущие приборы для непрерывной записи атмосферного давления. Результатом их работы являются барограммы – кривые, показывающие, как изменялось давление в течение длительных промежутков времени. Одна из таких кривых, вычерченная прибором в течение семи часов проведения наблюдений, показана на рисунке 1.

На основании полученной информации можно построить таблицу, содержащую показания прибора в начале измерений и на конец каждого часа наблюдений.

Полученная таблица даёт не совсем полную картину того, как изменялось давление за время наблюдений: например, не указано самое большое значение давления, имевшее место в течение четвёртого часа наблюдений. Но если занести в таблицу значения давления, наблюдаемые каждые полчаса или 15 минут, то новая таблица будет давать более полное представление о том, как изменялось давление.

Таким образом, информацию, представленную в непрерывной форме (барограмму, кривую), мы с некоторой потерей точности преобразовали в дискретную форму (таблицу).

В дальнейшем вы познакомитесь со способами дискретного представления звуковой и графической информации.

В общем случае, чтобы представить информацию в дискретной форме, её следует выразить с помощью символов какого-нибудь естественного или формального языка. Таких языков тысячи. Каждый язык имеет свой алфавит.

Алфавит – конечный набор отличных друг от друга символов (знаков), используемых для представления информации. Мощность алфавита – это количество входящих в него символов (знаков).

Алфавит, содержащий два символа, называется двоичным алфавитом (рис. 3). Представление информации с помощью двоичного алфавита называют двоичным кодированием. Закодировав таким способом информацию, мы получим её двоичный код.

Рассмотрим в качестве символов двоичного алфавита цифры 0 и 1. Покажем, что любой алфавит можно заменить двоичным алфавитом. Прежде всего, присвоим каждому символу рассматриваемого алфавита порядковый номер. Номер представим с помощью двоичного алфавита. Полученный двоичный код будем считать кодом исходного символа.

Если мощность исходного алфавита больше двух, то для кодирования символа этого алфавита потребуется не один, а несколько двоичных символов. Другими словами, порядковому номеру каждого символа исходного алфавита будет поставлена в соответствие цепочка (последовательность) из нескольких двоичных символов. Правило получения двоичных кодов для символов алфавита мощностью больше двух можно представить схемой на рисунке.

Двоичные символы (0,1) здесь берутся в заданном алфавитном порядке и размещаются слева направо. Двоичные коды (цепочки символов) читаются сверху вниз. Все цепочки (кодовые комбинации) из двух двоичных символов позволяют представить четыре различных символа произвольного алфавита:

Цепочки из трёх двоичных символов получаются дополнением двухразрядных двоичных кодов справа символом 0 или 1. В итоге кодовых комбинаций из трёх двоичных символов получается 8 – вдвое больше, чем из двух двоичных символов:

Соответственно, четырёхразрядный двоичный код позволяет получить 16 кодовых комбинаций, пятиразрядный – 32, шестиразрядный – 64 и т. д.

Длину двоичной цепочки – количество символов в двоичном коде – называют разрядностью двоичного кода.

Обратите внимание, что:

32 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 и т. д.

Здесь количество кодовых комбинаций представляет собой произведение некоторого количества одинаковых множителей, равного разрядности двоичного кода.

Если количество кодовых комбинаций обозначить буквой N, а разрядность двоичного кода – буквой i, то выявленная закономерность в общем виде будет записана так:

В математике такие произведения записывают в виде:

Запись 2 i читают так: «2 в i-й степени».

Задача. Вождь племени Мульти поручил своему министру разработать двоичный код и перевести в него всю важную информацию. Двоичный код какой разрядности потребуется, если алфавит, используемый племенем Мульти, содержит 16 символов? Выпишите все кодовые комбинации.

Чтобы выписать все кодовые комбинации из четырёх 0 и 1, воспользуемся схемой на рис. 1.13: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.

Универсальность двоичного кодирования

В начале нашей беседы вы узнали, что информация, представленная в непрерывной форме, может быть выражена с помощью символов некоторого естественного или формального языка. В свою очередь, символы произвольного алфавита могут быть преобразованы в двоичный код. Таким образом, с помощью двоичного кода может быть представлена любая информация на естественных и формальных языках, а также изображения и звуки (рис. 6). Это и означает универсальность двоичного кодирования.

Двоичные коды широко используются в компьютерной технике, требуя только двух состояний электронной схемы – «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0).

Простота технической реализации – главное достоинство двоичного кодирования. Недостаток двоичного кодирования – большая длина получаемого кода.

Равномерные и неравномерные коды

Различают равномерные и неравномерные коды. Равномерные коды в кодовых комбинациях содержат одинаковое число символов, неравномерные – разное.

Выше мы рассмотрели равномерные двоичные коды.

Примером неравномерного кода может служить азбука Морзе, в которой для каждой буквы и цифры определена последовательность коротких и длинных сигналов. Так, букве Е соответствует короткий сигнал («точка»), а букве Ш – четыре длинных сигнала (четыре «тире»). Неравномерное кодирование позволяет повысить скорость передачи сообщений за счёт того, что наиболее часто встречающиеся в передаваемой информации символы имеют самые короткие кодовые комбинации.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Переведите десятичное число 273 в двоичную систему счисления.

Воспользуемся алгоритмом перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Ответ: 273₁₀= 100010001.

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Четыре буквы латинского алфавита закодированы кодами различной длины:

Источник

Системы счисления и двоичное представление информации

Теория к заданию 1 из ЕГЭ по информатике

Информация и ее кодирование

Различные подходы к определению понятия «информация». Виды информационных процессов. Информационный аспект в деятельности человека

Информация (лат. informatio — разъяснение, изложение, набор сведений) — базовое понятие в информатике, которому нельзя дать строгого определения, а можно только пояснить:

Понятие «информация» является общенаучным, т. е. используется в различных науках: физике, биологии, кибернетике, информатике и др. При этом в каждой науке данное понятие связано с различными системами понятий. Так, в физике информация рассматривается как антиэнтропия (мера упорядоченности и сложности системы). В биологии понятие «информация» связывается с целесообразным поведением живых организмов, а также с исследованиями механизмов наследственности. В кибернетике понятие «информация» связано с процессами управления в сложных системах.

Основными социально значимыми свойствами информации являются:

В человеческом обществе непрерывно протекают информационные процессы: люди воспринимают информацию из окружающего мира с помощью органов чувств, осмысливают ее и принимают определенные решения, которые, воплощаясь в реальные действия, воздействуют на окружающий мир.

Информационный процесс — это процесс сбора (приема), передачи (обмена), хранения, обработки (преобразования) информации.

Сбор информации — это процесс поиска и отбора необходимых сообщений из разных источников (работа со специальной литературой, справочниками; проведение экспериментов; наблюдения; опрос, анкетирование; поиск в информационно-справочных сетях и системах и т. д.).

Передача информации — это процесс перемещения сообщений от источника к приемнику по каналу передачи. Информация передается в форме сигналов — звуковых, световых, ультразвуковых, электрических, текстовых, графических и др. Каналами передачи могут быть воздушное пространство, электрические и оптоволоконные кабели, отдельные люди, нервные клетки человека и т. д.

Хранение информации — это процесс фиксирования сообщений на материальном носителе. Сейчас для хранения информации используются бумага, деревянные, тканевые, металлические и другие поверхности, кино- и фотопленки, магнитные ленты, магнитные и лазерные диски, флэш-карты и др.

Обработка информации — это процесс получения новых сообщений из имеющихся. Обработка информации является одним из основных способов увеличения ее количества. В результате обработки из сообщения одного вида можно получить сообщения других видов.

Защита информации — это процесс создания условий, которые не допускают случайной потери, повреждения, изменения информации или несанкционированного доступа к ней. Способами защиты информации являются создание ее резервных копий, хранение в защищенном помещении, предоставление пользователям соответствующих прав доступа к информации, шифрование сообщений и др.

Язык как способ представления и передачи информации

Для того чтобы сохранить информацию и передать ее, с давних времен использовались знаки.

В зависимости от способа восприятия знаки делятся на:

Для долговременного хранения знаки записывают на носители информации.

Для передачи информации используются знаки в виде сигналов (световые сигналы светофора, звуковой сигнал школьного звонка и т. д.).

По способу связи между формой и значением знаки делятся на:

Для представления информации используются знаковые системы, которые называются языками. Основу любого языка составляет алфавит — набор символов, из которых формируется сообщение, и набор правил выполнения операций над символами.

Системы счисления также можно рассматривать как формальные языки. Так, десятичная система счисления — это язык, алфавит которого состоит из десяти цифр 0..9, двоичная система счисления — язык, алфавит которого состоит из двух цифр — 0 и 1.

Методы измерения количества информации: вероятностный и алфавитный

Единицей измерения количества информации является бит. 1 бит — это количество информации, содержащейся в сообщении, которое вдвое уменьшает неопределенность знаний о чем-либо.

Связь между количеством возможных событий N и количеством информации I определяется формулой Хартли:

При алфавитном подходе к определению количества информации отвлекаются от содержания (смысла) информации и рассматривают ее как последовательность знаков определенной знаковой системы. Набор символов языка (алфавит) можно рассматривать как различные возможные события. Тогда, если считать, что появление символов в сообщении равновероятно, по формуле Хартли можно рассчитать, какое количество информации несет каждый символ:

Например, в русском языке 32 буквы (буква ё обычно не используется), т. е. количество событий будет равно 32. Тогда информационный объем одного символа будет равен:

I = log₂ 32 = 5 битов.

Если N не является целой степенью 2, то число log₂N не является целым числом, и для I надо выполнять округление в большую сторону. При решении задач в таком случае I можно найти как log₂N’, где N′ — ближайшая к N степень двойки — такая, что N′ > N.

Например, в английском языке 26 букв. Информационный объем одного символа можно найти так:

N = 26; N’ = 32; I = log₂N’ = log₂(2 5 ) = 5 битов.

Если количество символов алфавита равно N, а количество символов в записи сообщения равно М, то информационный объем данного сообщения вычисляется по формуле:

Примеры решения задач

Пример 1. Световое табло состоит из лампочек, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний («включено» или «выключено»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 50 различных сигналов?

Пример 2. Метеорологическая станция ведет наблюдения за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100, которое записывается при помощи минимально возможного количества битов. Станция сделала 80 измерений. Определите информационный объем результатов наблюдений.

Решение. В данном случае алфавитом является множество целых чисел от 0 до 100. Всего таких значений 101. Поэтому информационный объем результатов одного измерения I = log₂101. Это значение не будет целочисленным. Заменим число 101 ближайшей к нему степенью двойки, большей 101. Это число 128 = 27. Принимаем для одного измерения I = log₂128 = 7 битов. Для 80 измерений общий информационный объем равен:

80 · 7 = 560 битов = 70 байтов.

Вероятностный подход к измерению количества информации применяют, когда возможные события имеют различные вероятности реализации. В этом случае количество информации определяют по формуле Шеннона:

$N$ — количество возможных событий;

Например, пусть при бросании несимметричной четырехгранной пирамидки вероятности отдельных событий будут равны:

Тогда количество информации, которое будет получено после реализации одного из них, можно вычислить по формуле Шеннона:

Единицы измерения количества информации

Наименьшей единицей информации является бит (англ. binary digit (bit) — двоичная единица информации).

Бит — это количество информации, необходимое для однозначного определения одного из двух равновероятных событий. Например, один бит информации получает человек, когда он узнает, опаздывает с прибытием нужный ему поезд или нет, был ночью мороз или нет, присутствует на лекции студент Иванов или нет и т. д.

В информатике принято рассматривать последовательности длиной 8 битов. Такая последовательность называется байтом.

Производные единицы измерения количества информации:

1 килобайт (Кб) = 1024 байта = 2 10 байтов

1 мегабайт (Мб) = 1024 килобайта = 2 20 байтов

1 гигабайт (Гб) = 1024 мегабайта = 2 30 байтов

1 терабайт (Тб) = 1024 гигабайта = 2 40 байтов

Процесс передачи информации. Виды и свойства источников и приемников информации. Сигнал, кодирование и декодирование, причины искажения информации при передаче

Информация передается в виде сообщений от некоторого источника информации к ее приемнику посредством канала связи между ними.

В качестве источника информации может выступать живое существо или техническое устройство. Источник посылает передаваемое сообщение, которое кодируется в передаваемый сигнал.

Сигнал — это материально-энергетическая форма представления информации. Другими словами, сигнал — это переносчик информации, один или несколько параметров которого, изменяясь, отображают сообщение. Сигналы могут быть аналоговыми (непрерывными) или дискретными (импульсными).

Сигнал посылается по каналу связи. В результате в приемнике появляется принимаемый сигнал, который декодируется и становится принимаемым сообщением.

Передача информации по каналам связи часто сопровождается воздействием помех, вызывающих искажение и потерю информации.

Примеры решения задач

Пример 1. Для кодирования букв А, З, Р, О используются двухразрядные двоичные числа 00, 01, 10, 11 соответственно. Этим способом закодировали слово РОЗА и результат записали шестнадцатеричным кодом. Указать полученное число.

Решение. Запишем последовательность кодов для каждого символа слова РОЗА: 10 11 01 00. Если рассматривать полученную последовательность как двоичное число, то в шестнадцатеричном коде оно будет равно: 1011 0100₂ = В4₁₆.

Скорость передачи информации и пропускная способность канала связи

Прием/передача информации может происходить с разной скоростью. Количество информации, передаваемое за единицу времени, есть скорость передачи информации, или скорость информационного потока.

Скорость выражается в битах в секунду (бит/с) и кратных им Кбит/с и Мбит/с, а также в байтах в секунду (байт/с) и кратных им Кбайт/с и Мбайт/с.

Максимальная скорость передачи информации по каналу связи называется пропускной способностью канала.

Примеры решения задач

Пример 1. Скорость передачи данных через ADSL-соединение равна 256000 бит/с. Передача файла через данное соединение заняла 3 мин. Определите размер файла в килобайтах.

Решение. Размер файла можно вычислить, если умножить скорость передачи информации на время передачи. Выразим время в секундах: 3 мин = 3 ⋅ 60 = 180 с. Выразим скорость в килобайтах в секунду: 256000 бит/с = 256000 : 8 : 1024 Кбайт/с. При вычислении размера файла для упрощения расчетов выделим степени двойки:

Размер файла = (256000 : 8 : 1024) ⋅ (3 ⋅ 60) = (2 8 ⋅ 10 3 : 2 3 : 2 10 ) ⋅ (3 ⋅ 15 ⋅ 2 2 ) = (2 8 ⋅ 125 ⋅ 2 3 : 2 3 : 2 10 ) ⋅ (3 ⋅ 15 ⋅ 2 2 ) = 125 ⋅ 45 = 5625 Кбайт.

Представление числовой информации. Сложение и умножение в разных системах счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Для представления информации в компьютере используется двоичный код, алфавит которого состоит из двух цифр — 0 и 1. Каждая цифра машинного двоичного кода несет количество информации, равное одному биту.

Система счисления — это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе.

Позиционной является десятичная система счисления. Например, в числе 999 цифра «9» в зависимости от позиции означает 9, 90, 900.

Римская система счисления является непозиционной. Например, значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе счисления, называется ее основанием.

Развернутая форма числа — это запись, которая представляет собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

$a$ — цифры численной записи, соответствующие разрядам;

$m$ — количество разрядов числа дробной части;

$n$ — количество разрядов числа целой части;

$q$ — основание системы счисления.

Если основание используемой системы счисления больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение: В — двоичная система, О — восмеричная, Н — шестнадцатиричная.

Например, если в двенадцатеричной системе счисления 10 = А, а 11 = В, то число 7А,5В₁₂ можно расписать так:

В шестнадцатеричной системе счисления 16 цифр, обозначаемых 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, что соответствует следующим числам десятеричной системы счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Примеры чисел: 17D,ECH; F12AH.

Перевод чисел в позиционных системах счисления

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную необходимо использовать развернутую форму числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами. Например:

1101₂ = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13₁₀;

17D,ECH = 12 ⋅ 16 –2 + 14 ⋅ 16 –1 + 13 ⋅ 160 + 7 ⋅ 16 1 + 1 ⋅ 16 2 = 381,921875.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в заданную

Для преобразования целого числа десятичной системы счисления в число любой другой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание системы счисления, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание системы, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной системе счисления от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Например, переведем десятичное число 475 в двоичную систему счисления. Для этого будем последовательно выполнять деление нацело на основание новой системы счисления, т. е. на 2:

Читая остатки от деления снизу вверх, получим 111011011.

1 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 1 ⋅ 2 6 + 0 ⋅ 2 5 + 1 ⋅ 2 4 + 1 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 128 + 256 = 475₁₀.

Для преобразования десятичных дробей в число любой системы счисления последовательно выполняют умножение на основание системы счисления, пока дробная часть произведения не будет равна нулю. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.

Например, переведем десятичную дробь 0,375₁₀ в двоичную систему счисления:

Полученный результат — 0,011₂.

Не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления, поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, т. е. в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации (8 = 2 І ; І = 3).

Таким образом, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

1234,777₈ = 001 010 011 100,111 111 111₂ = 1 010 011 100,111 111 111₂;

1234567₈ = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 1 010 011 100 101 110 111₂.

При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления нужно каждую триаду двоичных цифр заменить восьмеричной цифрой. При этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной.

Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, т. е. для каждого разряда числа возможны 16 вариантов записи. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации (16 = 2 І ; І = 4).

Таким образом, для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры и преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру.

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичный код необходимо каждую цифру этого числа представить четверкой двоичных цифр.

1234,AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111₂ = 1 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111₂;

CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂.

При переводе числа из одной произвольной системы счисления в другую нужно выполнить промежуточное преобразование в десятичное число. При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

Например, переведем троичное число 211₃ в семеричную систему счисления. Для этого сначала преобразуем число 211₃ в десятичное, записав его развернутую форму:

211₃ = 2 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 1 ⋅ 3 0 = 18 + 3 + 1 = 22₁₀.

Затем переведем десятичное число 22₁₀ в семеричную систему счисления делением нацело на основание новой системы счисления, т. е. на 7:

Примеры решения задач

Пример 1. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Указать это основание.

Пример 2. Указать через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Пример 3. Указать через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101. Ответ записать в десятичной системе счисления.

a₁ = 0; x = 5 + 0 · 8 = 5;.

a₁=1; x = 5 + 1 · 8 = 13;.

a₁ = 2; x = 5 + 2 · 8 = 21;.

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд. При вычитании, если необходимо, делают заем.

Пример выполнения сложения: сложим двоичные числа 111 и 101, 10101 и 1111:

Пример выполнения вычитания: вычтем двоичные числа 10001 – 101 и 11011 – 1101:

Пример выполнения умножения: умножим двоичные числа 110 и 11, 111 и 101:

Аналогично выполняются арифметические действия в восьмеричной, шестнадцатеричной и других системах счисления. При этом необходимо учитывать, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления.

Например, выполним сложение восьмеричных чисел 36₈ и 15₈, а также вычитание шестнадцатеричных чисел 9С₁₆ и 67₁₆:

При выполнении арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, нужно предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Представление чисел в компьютере

Формат с фиксированной запятой

В памяти компьютера целые числа хранятся в формате с фиксированной запятой: каждому разряду ячейки памяти соответствует один и тот же разряд числа, «запятая» находится вне разрядной сетки.

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится 8 битов памяти. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно 0. Максимальное число соответствует восьми единицам и равно

1 ⋅ 2 7 + 1 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 1 ⋅ 2 4 + 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 255₁₀.

Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел — от 0 до 255.

Для п-разрядного представления диапазон будет составлять от 0 до 2 n – 1.

Для хранения целых чисел со знаком отводится 2 байта памяти (16 битов). Старший разряд отводится под знак числа: если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел в компьютере называется прямым кодом.

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Он позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие. Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в п ячейках, равен 2 n − |А|.

Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа:

1. Записать прямой код числа в п двоичных разрядах.

2. Получить обратный код числа. (Обратный код образуется из прямого кода заменой нулей единицами, а единиц — нулями, кроме цифр знакового разряда. Для положительных чисел обратный код совпадает с прямым. Используется как промежуточное звено для получения дополнительного кода.)

3. Прибавить единицу к полученному обратному коду.

Например, получим дополнительный код числа –2014₁₀ для шестнадцатиразрядного представления:

При алгебраическом сложении двоичных чисел с использованием дополнительного кода положительные слагаемые представляют в прямом коде, а отрицательные — в дополнительном коде. Затем суммируют эти коды, включая знаковые разряды, которые при этом рассматриваются как старшие разряды. При переносе из знакового разряда единицу переноса отбрасывают. В результате получают алгебраическую сумму в прямом коде, если эта сумма положительная, и в дополнительном — если сумма отрицательная.

1) Найдем разность 13₁₀ – 12₁₀ для восьмибитного представления. Представим заданные числа в двоичной системе счисления:

Запишем прямой, обратный и дополнительный коды для числа –12₁₀ и прямой код для числа 13₁₀ в восьми битах:

Вычитание заменим сложением (для удобства контроля за знаковым разрядом условно отделим его знаком «_»):

Так как произошел перенос из знакового разряда, первую единицу отбрасываем, и в результате получаем 00000001.

2) Найдем разность 8₁₀ – 13₁₀ для восьмибитного представления.

Запишем прямой, обратный и дополнительный коды для числа –13₁₀ и прямой код для числа 8₁₀ в восьми битах:

Вычитание заменим сложением:

В знаковом разряде стоит единица, а значит, результат получен в дополнительном коде. Перейдем от дополнительного кода к обратному, вычтя единицу:

11111011 – 00000001 = 11111010.

Перейдем от обратного кода к прямому, инвертируя все цифры, за исключением знакового (старшего) разряда: 10000101. Это десятичное число –5₁₀.

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком (для хранения таких чисел отводится 32 бита памяти). Минимальное отрицательное число равно

А = –2 31 = –2147483648₁₀.

Максимальное положительное число равно

А = 2 31 – 1 = 2147483647₁₀.

Достоинствами формата с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, простота алгоритмов реализации арифметических операций. Недостатком является небольшой диапазон представимых чисел, недостаточный для решения большинства прикладных задач.

Формат с плавающей запятой

Вещественные числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой, использующем экспоненциальную форму записи чисел.

Число в экспоненциальном формате представляется в таком виде:

$q$ — основание системы счисления;

Например, десятичное число 2674,381 в экспоненциальной форме запишется так:

Число в формате с плавающей запятой может занимать в памяти 4 байта (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность). При записи числа выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. Две последние величины определяют диапазон изменения чисел и их точность.

Определим диапазон (порядок) и точность (мантиссу) для формата чисел обычной точности, т. е. четырехбайтных. Из 32 битов 8 выделяется для хранения порядка и его знака и 24 — для хранения мантиссы и ее знака.

Найдем максимальное значение порядка числа. Из 8 разрядов старший разряд используется для хранения знака порядка, остальные 7 — для записи величины порядка. Значит, максимальное значение равно 1111111₂ = 127₁₀. Так как числа представляются в двоичной системе счисления, то

Аналогично, максимальное значение мантиссы равно

Кодирование текстовой информации. Кодировка ASCII. Основные используемые кодировки кириллицы

Соответствие между набором символов и набором числовых значений называется кодировкой символа. При вводе в компьютер текстовой информации происходит ее двоичное кодирование. Код символа хранится в оперативной памяти компьютера. В процессе вывода символа на экран производится обратная операция — декодирование, т. е. преобразование кода символа в его изображение.

Присвоенный каждому символу конкретный числовой код фиксируется в кодовых таблицах. Одному и тому же символу в разных кодовых таблицах могут соответствовать разные числовые коды. Необходимые перекодировки текста обычно выполняют специальные программы-конверторы, встроенные в большинство приложений.

Как правило, для хранения кода символа используется один байт (восемь битов), поэтому коды символов могут принимать значение от 0 до 255. Такие кодировки называют однобайтными. Они позволяют использовать 256 символов ( N = 2 I = 2 8 = 256 ). Таблица однобайтных кодов символов называется ASCII (American Standard Code for Information Interchange — Американский стандартный код для обмена информацией). Первая часть таблицы ASCII-кодов (от 0 до 127) одинакова для всех IBM-PC совместимых компьютеров и содержит:

Вторая часть таблицы (коды от 128 до 255) бывает различной в различных компьютерах. Она содержит коды букв национального алфавита, коды некоторых математических символов, коды символов псевдографики. Для русских букв в настоящее время используется пять различных кодовых таблиц: КОИ-8, СР1251, СР866, Мас, ISO.

В последнее время широкое распространение получил новый международный стандарт Unicode. В нем отводится по два байта (16 битов) для кодирования каждого символа, поэтому с его помощью можно закодировать 65536 различных символов ( N = 2 16 = 65536 ). Коды символов могут принимать значение от 0 до 65535.

Примеры решения задач

Пример. С помощью кодировки Unicode закодирована следующая фраза:

Я хочу поступить в университет!

Оценить информационный объем этой фразы.

Решение. В данной фразе содержится 31 символ (включая пробелы и знак препинания). Поскольку в кодировке Unicode каждому символу отводится 2 байта памяти, для всей фразы понадобится 31 ⋅ 2 = 62 байта или 31 ⋅ 2 ⋅ 8 = 496 битов.

Источник