Что такое дружеские числа

Дружественные числа

Дружественные числа?! Шутка исследователей? Что за странное название для математического термина? На самом деле, это название дано не с проста.

Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и, в свою очередь, сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Всегда, когда говорят о дружественных числах, то имеют в виду пары числе. Таким образом, эти числа связаны отношениями сходства и поэтому были названы дружественными.

Впервые дружественные числа упоминаются в работах Пифагора, посвященных теории чисел. Следует отметить, что пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел 220 и 284. Долгое время эта пара чисел была единственным представителем класса дружественных чисел.

В восемнадцатом веке Леонардо Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. К примеру одна из них, 17296 и 18416.

Однако, до сих пор общий способ нахождения пар дружественных чисел не был найден.

В 850 году нашей эры арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу, с помощью которой можно определить 3 пары дружественных чисел. Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим образом:

, где n > 1 — натуральное число, а p,q,r — простые числа, то:

2 n pq и 2 n r — пара дружественных чисел.

Благодаря этой формуле были найдены пары дружественных чисел 220 и 284, 17296 и 18416 и 9363584 и 9437056 соответственно для n=2,4,7. Но для n больше никаких пар дружественных чисел нет.

Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. О том существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел науке до сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему невыясненным остается предположение о существовании взаимно простых дружественных числа. В том случае, если такая пара дружественных чисел все же существует, то их произведение должно быть больше 1067.

Для наглядности приведем все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100 000:

Источник

Что такое дружеские числа

Дружественные числа — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

История

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826—901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На сентябрь 2007 года известно 11994387 пар дружественных чисел. [1] Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше .

Примеры

Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000.

1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)

2. 1184 и 1210 (Паганини, 1860)

Пары дружественных чисел образуют последовательность:

220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, …

Способы построения

Формула Сабита

Если для натурального числа 1″ src=»http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/e/b/3/eb380f3b2439960f7727e82712b46659.png» /> все три числа:

, , ,

являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел для не существует. Кроме того, многие дружественные числа, например (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро

Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и — дружественные.

Источник

Дружественные числа

Всего получено оценок: 138.

Всего получено оценок: 138.

Математика полна интересных загадок и не всегда понятных закономерностей. Математики древности считали, что можно всю вселенную изучить с помощью чисел, нужно только найти правильные закономерности, как показывает история – они оказались правы. Одной из интересных математических закономерностей являются дружественные числа, о которых и пойдет речь сегодня.

Что такое дружественное число?

Вспомним, что любое число имеет делители, то есть числа, на которые число поделиться нацело. Если у одного числа сумма всех делителей равна второму числу, а у второго числа сумма всех делителей равна первому, то такие числа называются дружественными.

Название закономерности пошло от Пифагора. Когда у древнего математика спросили, кто есть друг, он ответил, что для него друг – человек, повторяющий его самого. В качестве примера Пифагор привел два числа 220 и 284. А нашедшие закономерность ученики назвали числа дружественными друг другу.

Пример дружественных чисел

Рассмотрим наиболее простой пример дружественных чисел, приведенный еще Пифагором.

Делители числа 220: 1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110

Делители числа 284: 1;2;4;71;142

Если просуммируем все делители первого числа, то получится 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.

А теперь просуммируем делители числа 284: 1+2+4+71+142 = 220 – так и выглядит в математике эффект дружественных чисел.

Обратите внимание на то, что само число не считается делителем. Но при этом любое число можно поделить на само себя и получить в результате 1. А вот 1 считается делителем любого числа.

Сколько всего дружественных чисел?

Открывателем первой пары дружественных чисел был Пифагор. Эта пара наименьшая, ближе к началу числовой прямой таких чисел нет. После Пифагора ни один математик не мог открыть следующую пару чисел целых 15 веков, то есть полтора тысячелетия.

Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их 59 пар!

С изобретением метода выявления дружественных чисел, пары стали находить все чаще и чаще. На 2019 год найдено больше 1 миллиарда дружественных чисел и пары продолжают находить. Интересно, что до сих пор математики не выяснили, является ли число дружественных пар конечным, или их бесконечно много.

Что мы узнали?

Мы поговорили о дружественных числах. Узнали, что это такое и поговорили об истории открытия математической зависимости. Сказали, сколько дружественных чисел открыто на данный момент.

Источник

Дружественные или дружеские числа: примеры и как их найти

Содержание:

Вдружеские или дружественные числа Это два натуральных числа a и b, сумма делителей одного из которых (не включая число) равна другому числу, а сумма делителей этого другого числа (не включая его) равна первому числу.

Делителями 220, исключая 220, являются: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110. В свою очередь, делители 284, не включая 284, равны: 1, 2, 4, 71 и 142.

Теперь складываем делители первого числа, которое равно 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Мы замечаем, что фактически сумма равна 284, дружественному числу.

Затем складываются делители числа 284:

И первый член пары получается.

Древнегреческим математикам пифагорейской школы, основанной Пифагором (569–475 гг. До н. Э.), Автором знаменитой одноименной теоремы, удалось обнаружить эту своеобразную взаимосвязь между этими двумя числами, которым они приписывали множество мистических качеств.

Они были также известны исламским математикам средневековья, которым удалось определить общую формулу для нахождения дружественных чисел около 850 года нашей эры.

Формула для поиска дружественных чисел

Исламский математик Табит ибн Курра (826–901) нашел способ генерировать несколько дружественных чисел. Шон п, какие Y р три простых числа, то есть числа, которые допускают только 1 и сами себя в качестве делителей.

Когда выполняется следующее:

С участием п число больше 1, тогда:

а = 2 п pq и b = 2 п р

Они составляют пару дружественных чисел. Давайте проверим формулу для n = 2 и посмотрим, какую пару дружественных чисел она генерирует:

р = 3,2 2-1 – 1= 3. 2 – 1 = 5

Формула средневекового математика работает для n = 2, поскольку это как раз первые дружественные числа, о которых говорилось вначале и которые были известны уже в средние века.

Однако теорема не работает для всех найденных до сих пор дружественных чисел, только для n = 2, n = 4 и n = 7.

Спустя столетия швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) вывел новое правило поиска дружественных чисел, основанное на правилах Табита ибн Курры:

Как всегда, числа p, q и r простые, но теперь есть два целых показателя степени: m и n, из которых m должно удовлетворять следующему условию:

Аналогично формируется пара дружественных чисел:

Если m = n-1, теорема Табита получается снова, но, как и в случае с теоремой исламского математика, не все дружественные числа удовлетворяют правилу Эйлера. Однако с ним увеличилось количество известных до того времени дружественных чисел.

Вот первые пары показателей (m, n), с помощью которых можно найти несколько дружественных чисел:

Позже, в разделе упражнений, мы найдем пару дружественных чисел, которая образуется благодаря показателям (3,4) правила Эйлера.

Примеры дружественных чисел

Конечно, компьютер может сгенерировать гораздо больше дружественных пар чисел.

Как разложить число и найти его делители

Теперь мы посмотрим, как найти делители числа, чтобы проверить, дружат ли они.Согласно определению дружественных чисел, все делители каждого участника необходимы, чтобы их можно было сложить, кроме самих чисел.

Теперь натуральные числа можно разделить на две группы: простые числа и составные числа.

Простые числа допускают только 1 и себя как точные делители. А составные числа, со своей стороны, всегда можно выразить как произведение простых чисел и иметь другие делители, кроме 1 и самих себя.

Любое составное число N, такое как 220 или 284, можно выразить следующим образом:

В терминах этих показателей существует формула, чтобы узнать, сколько (но не какие) делители имеет число N. Пусть C будет этой величиной:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

После того, как число N выражено в терминах произведений простых чисел и известно, сколько у него делителей, у нас уже есть инструменты, чтобы узнать, каковы его делители, как простые, так и непростые. И это то, что вам нужно знать их всех, чтобы проверить, являются ли они друзьями, кроме последнего, которым является сам номер.

Решенные упражнения

— Упражнение 1

Найдите все делители пары дружественных чисел 220 и 284.

Решение

Давайте сначала найдем простые делители 220, которое является составным числом:

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Разложение 220 на простые множители:

Следовательно, n = 2, m = 1, p = 1 и имеет:

С = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 делителей

Первые делители, которые замечаются при разложении числа: 1, 2, 4, 5 Y 11. И они тоже 110 Y 55.

Аналогичная процедура выполняется для 284:

С = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 делителей

Эти делители: 1, 2, 4, 71, 142 и 284, как указано в начале.

— Упражнение 2.

Проверка формулы Эйлера на n = 4 и m = 3 дает тройку простых чисел (p, q, r) = (23,47, 1151). Какая из них образуется пара дружественных чисел?

Решение

Простые числа p, q и r вычисляются по формуле:

Подставляя значения m = 3 и n = 4, получаем:

р = (2 4-3 + 1). 2 3 – 1= 23

q = (2 4-3 + 1). 2 4 – 1 = 47

Теперь формула применяется для поиска пары дружественных чисел a и b:

а = 2 п pq = 16,23,47 = 17,296

b = 2 п г = 16. 1151 = 18,416

И действительно, они входят в список первых пар дружественных чисел, которые мы показали ранее.

Ссылки

Американский бизон: характеристика, среда обитания, кормление, поведение

Источник

Дружественные числа

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

Содержание

История

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826—901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На сентябрь 2007 года известно 11994387 пар дружественных чисел. [1] Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше .

Примеры

Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000.

Пары дружественных чисел образуют последовательность:

220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, … (последовательность A063990 в OEIS)

Способы построения

Формула Сабита

Если для натурального числа 1″ border=»0″ /> все три числа:

, , ,

являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел для не существует. Кроме того, многие дружественные числа, например (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро

Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и — дружественные.

См. также

Примечания

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Дружественные числа» в других словарях:

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — два натуральных числа, каждое из которых равно сумме правильных делителей другого (т. е. делителей, меньших этого числа). Напр., 284 и 220 … Большой Энциклопедический словарь

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, два натуральных числа, каждое из которых равно сумме правильных делителей другого (т. е. делителей, меньших этого числа). Напр., 284 и 220 … Энциклопедический словарь

Дружественные числа — пара натуральных чисел, каждое из которых равно сумме всех собственных (или правильных) делителей другого, т. е. делителей, отличных от самого числа. Д. ч. 284 и 220, имеющие соответствующую сумму делителей 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 … Большая советская энциклопедия

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — пара натуральных чисел, каждое из к рых равно сумме собственных делителей другого, т. е. делителей, отличных от самого числа. Определение Д. ч. имеется уже в Началах Евклида, а также в трудах Платона. Древним грекам была известна одна пара Д. ч … Математическая энциклопедия

Числа Армстронга — Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI) или число Армстронга натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную… … Википедия

Избыточные числа — Избыточное число положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n. Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные… … Википедия

Рецепт Вальтера Боро — Дружественные числа два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных… … Википедия

МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ — Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера

Совершенное число — (др. греч. ἀριθμὸς τέλειος) натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются… … Википедия

Число Армстронга — Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI или число Армстронга натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его… … Википедия

Источник