Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.
Содержание
Определение
Оператор дивергенции обозначается так: div F.
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Физическая интерпретация
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:
где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат
0>» /> точка поля является источником точка поля является стоком стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга
Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).
Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как
.
Содержание
Определение
Определение дивергенции выглядит так:
где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что
.
Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).
Определение легко и прямо обобщается на любую размерность n пространства: при этом под объёмом понимается n-мерный объём, а под площадью поверхности (n-1)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.
Определение в декартовых координатах
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).
Физическая интерпретация
С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (или очень малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:
0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; — точка поля является стоком; — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
Простым, хоть быть может и несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно иметь более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного векторного поля на двумерном пространстве, причём картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощённой первой, количественно же являться её обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.
Дивергенция вектора плотности тока даёт минус скорость накопления заряда в электродинамике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нём или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах). (См. Уравнение непрерывности).
Геометрическая интерпретация
Если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Дивергенция в физике
В стандартной формулировке классической теории поля дивергенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но всё равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
Смотреть что такое «ДИВЕРГЕНЦИЯ (в математике)» в других словарях:
ДИВЕРГЕНЦИЯ — в математике скалярное поле, характеризующее плотность источников данного векторного поля а(Р); обозначение div а. Так, дивергенция поля скоростей в установившемся движении несжимаемой жидкости характеризует интенсивность источника в данной точке … Большой Энциклопедический словарь
Дивергенция (значения) — Дивергенция: Дивергенция в математике: один из дифференциальных операторов. Дивергенция в биологии: расхождение признаков и свойств у первоначально близких групп организмов в ходе эволюции. Дивергенция в языкознании: расхождение … Википедия
Дивергенция — (от лат. diverge отклоняюсь, divergere обнаруживать расхождение) 1) (в математике) некоторое скалярное поле, характеризующее интенсивность источника векторного поля в любой его точке; 2) (в биологии) расхождение признаков у родственных организмов … Начала современного естествознания
Векторное поле — Векторное поле это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан… … Википедия
Теорема разложения Гельмгольца — Теорема разложения Гельмгольца утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты: Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду … Википедия
ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… … Энциклопедия Кольера
Оператор набла — (оператор Гамильтона) векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом … Википедия
Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий — Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Теорема Бендиксона … Википедия
Производная (обобщения) — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные … Википедия
Односторонняя производная — В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных … Википедия
Д. обозначается div a(x). или в виде скалярного произведения (С, а) Гамильтона операторана вектор а (х).
a si(y)- орт, касающийся i-й координатной линии в точке у:
типа ( р, q), заданного в области n-мерного аффинного пространства связности, определяется с помощью абсолютных (ковариантных) производных компонент а(х)с последующей сверткой и является тензором типа ( р-1, q)с компонентами
В тензорном анализе и дифференциальной геометрии Д. называется также дифференциальный оператор, действующий в пространстве дифференциальных форм и связанный с оператором внешнего дифференцирования.
Полезное
Смотреть что такое «ДИВЕРГЕНЦИЯ» в других словарях:
Дивергенция — (от латинского divergens, родительный падеж divergentis расходящийся в разные стороны), расхождение, разветвление, отклонение. Например, дивергенция диалектов расхождение диалектов, приводящее к превращению их в самостоятельные языки; дивергенция … Иллюстрированный энциклопедический словарь
ДИВЕРГЕНЦИЯ — (от средневекового лат. divergo отклоняюсь) в биологии расхождение признаков и свойств у первоначально близких групп организмов в ходе эволюции. Результат обитания в разных условиях и неодинаково направленного естественного отбора. Понятие… … Большой Энциклопедический словарь
ДИВЕРГЕНЦИЯ — в математике скалярное поле, характеризующее плотность источников данного векторного поля а(Р); обозначение div а. Так, дивергенция поля скоростей в установившемся движении несжимаемой жидкости характеризует интенсивность источника в данной точке … Большой Энциклопедический словарь
ДИВЕРГЕНЦИЯ — (от ср. век. лат. divergo отклоняюсь, отхожу), в эволюционном учении расхождение признаков организмов в ходе эволюции разных филетич. линий, возникших от общего предка. Часто говорят о Д. самих групп организмов. Термин «дивергенция признаков»… … Биологический энциклопедический словарь
дивергенция — расходимость; видообразование, расхождение, вариация. Ant. конвергенция, сходимость Словарь русских синонимов. дивергенция сущ., кол во синонимов: 5 • вариация (8) • … Словарь синонимов
дивергенция — и, ж. divergence f. <лат. divergere обнаруживать расхождение. научн. Расхождение в признаках. Уш. 1934. Лекс. Брокг.: дивергенция; Уш. 1934: диверге/нция … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ДИВЕРГЕНЦИЯ — в лингвистике 1) превращение вариантов языковой единицы (обычно вариантов фонемы) в самостоятельные единицы в связи с устранением условий, определявших варьирование.2) Расхождение в реализации одной языковой единицы, напр. Фонемы.3) Размежевание… … Большой Энциклопедический словарь
Дивергенция — элементов конструкции летательного аппарата (от средневекового латинского divergo отклоняюсь) потеря статической устойчивости летательного аппарата в целом или какой либо его части (например, крыла, рулей, лопасти винта вертолёта),… … Энциклопедия техники
ДИВЕРГЕНЦИЯ — (от лат. divergere обнаруживать расхождение) понятие, заимствованное социальной наукой из биологии, где оно означает расхождение признаков у родственных организмов в процессе их эволюции или же распад первоначально единого экологического… … Философская энциклопедия
ДИВЕРГЕНЦИЯ — (Divergence) см. Точка расходимости. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 … Морской словарь
Дивергенция: что это такое и применение термина в биологии, психологии, лингвистике и Форексе
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Продолжим разбирать понятия, суть которых для многих читателей не ясна.
Наверно, многие смотрели фильм «Дивергент», интуитивно поняли, почему он так называется, но не уверены в точности своей догадки.
Поэтому сегодня мы поговорим, что такое дивергенция, и в каких сферах применяется этот термин.
Дивергенция (дивергент) – это …
«Дивергенция» переводится с латинского «divergere» как «расхождение». Следовательно, дивергенция – это процесс расхождения каких-либо объектов.
Объекты, к которым применимо данное понятие, могут быть разными, все зависит от области применения, но в повседневной жизни термин «дивергенция» не используется.
Теперь о том, почему полюбившийся фильм называется «Дивергент». Сюжет фильма о том, что в тоталитарном мире, где люди разделены на фракции по определенным признакам, появляются индивидуумы, не вписывающиеся ни в одну из очерченных ниш.
Дивергенты — это бунтари, не признающие существующее положение дел. Их жизненная позиция расходится (находится в дивергенции) с общепринятой.
Агрессивный дивергент опасен для общества. Для сохранения порядка такого человека нужно устранить (изолировать, уничтожить). О перипетиях противостояния дивергента и общества и идет речь в фильме.
Противоположным по значению к слову «дивергенция» является слово «конвергенция» (схождение). Подробно об этом термине и его употреблении рассказано в другой статье нашего блога.
Применение понятия «дивергенция» в различных областях имеет свои особенности.
Так, например, в математике дивергенция – это оператор, характеризующий расхождение входящего и исходящего потока при дифференцировании векторного поля. Для тех, кто хочет детально узнать про особенности дивергенции в высшей математике, привожу ссылку для просмотра.
В этой статье мы рассмотрим более распространенное применение термина в разных сферах.
Дивергенция в биологии
Одинаковые виды флоры и фауны, находясь в различных условиях существования, приобретают новые черты, отличные от черт, приобретенные этим же видом в другой среде обитания. Этот процесс называется дивергенцией видов.
Чарльз Дарвин (английский ученый-натуралист, живший в 19 веке) обосновал теорию эволюции (это как?), согласно которой все виды биологических организмов эволюционируют посредством естественного отбора.
Дарвин сделал вывод, что дивергенция и конвергенция в биологии являются механизмами естественного отбора.
Напомню, что конвергенция в эволюционном развитии – это появление у различных видов флоры и фауны схожих черт при существовании их в одной среде обитания. Более подробно об этом – в другой статье нашего блога.
Наглядный пример дивергенции в мире животных:
Когда-то медведи волею природных катаклизмов и миграций «разбрелись» по свету и попали в разные природно-климатические условия. Результатом стало изменение вида.
Животные, приспосабливаясь к новым условиям существования, приобрели новые уникальные черты. Таким образом популяция медведей разветвилась и появились новые виды этих животных.
Дивергенты в психологии
В психологии существует термин «дивергентное мышление». Это означает способность индивидуума находить множество вариантов решения одной задачи. Причем вектор решений может быть диаметрально противоположным.
Для определения уровня дивергентности мозговой деятельности человека психологи разработали различные тесты. Один из таких тестов: нужно определить максимальное количество способов применения, например, кирпича. Попробовали?
И если вам в голову пришла единственная мысль, что из кирпича можно что-то построить, то, увы, у вас не дивергентное мышление.
Индивидуум с дивергентным мышлением нашел бы еще несколько способов использования кирпича: в качестве молотка, пресса, метательного снаряда, мишени, объекта декора, ограничителя открывания двери и т.д.
Япония славится уровнем развития техники и технологий. На крупных фирмах есть даже должность «свежая голова». Это сотрудник с дивергентным мышлением, он генерирует свежие нестандартные идеи, которые потом реализуются компанией.
Посмотрите на фото ниже, как выглядит решение проблемы сна в вагоне метро (на табличке – просьба разбудить на нужной станции):
Такая идея могла прийти в голову только человеку с дивергентным мышлением, находящем нестандартные решения проблемы.
Что присуще человеку с дивергентной мозговой деятельностью:
Такие способности даются человеку от природы. Но их можно и развить. Существуют специальные психологические практики и тренинги. И чем раньше человек начнет развивать в себе эти способности, тем большего он сможет достигнуть.
Именно поэтому даже в школьных учебниках с младших классов есть задачи «на сообразительность». Это способствует устранению косности сознания, развивает его гибкость. Привычка мыслить шаблонами не дает человеку расти и развиваться в интеллектуальном плане.
Дивергенция в лингвистике
Дивергенция языков (диалектов) – это обособление и удаление родственных языков (диалектов) друг от друга вследствие социально-исторических причин.
Это может происходить из-за миграции части населения в другие регионы и страны, разделения народа в результате войн и т.д.
К примеру, в начале нашей эры (около 2000 лет назад) существовал праславянский язык. К 500-ым годам н.э. из этого праязыка выделились несколько языков, которые стали праязыками современных языков, имеющих славянские корни.
На схеме: отличие дивергенции от конвергенции в лингвистике:
Дивергенция на рынке Форекс
Краткое пояснение: Форекс – это рынок, где по свободным котировкам осуществляются сделки купли-продажи валют разных стран.
Функционирование рынка отслеживается по определенным показателям-индикаторам (статистическим показателям торгов (цена, объем и т.д.). Одним из таких индикаторов является MACD, который используется для прогнозирования колебания цен.
Показатели индикаторов для улучшения визуального восприятия выстраивают в формате графиков. Как правило, движение этих графиков в будущем периоде прогнозируемо.
Но если эти прогностические графики отличаются от фактического поведения индикаторов, то говорят о дивергенции рынка.
*при клике по картинке она откроется в полный размер в новом окне
Раннее распознавание расхождения (дивергенции) поведения индикаторов – это залог успешной торговли на бирже.
В этой статье разобраны не все примеры применения термина «дивергенция», но надеюсь, что основная суть данного понятия стала для вас ясна. Читайте наш блог, знания никогда не бывают лишними!
Автор статьи: Елена Копейкина
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (2)
Думаю, в каком-то смысле я дивергент 🙂 Мне, кстати. нравится героиня вышеупомянутого фильма, мы во многом похожи.
С кирпичом мне даже одно решение в голову не пришло, видимо для таких как я существует ещё какой-нибудь термин.
, обозначают как
.
.
0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; 
— точка поля является стоком; 
— стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
, где 
— коэффициенты Ламе.
.
на вектор а (х).
