Что такое директриса параболы

Уравнение директрисы параболы

Что такое директриса параболы

Директриса параболы — такая прямая, кратчайшее расстояние от которой до любой точки, принадлежащей параболе, точно такое же, как расстояние от этой точки до фокуса.

Вершина параболы — точка пересечения параболы с ее осью. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Вершина — середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису. Таким образом, директриса перпендикулярна оси симметрии и проходит на расстоянии р/2 от вершины параболы. Число р — фокальный параметр, расстояние от фокуса до директрисы. Поскольку все параболы подобны, именно эта характеристика определяет масштаб конкретной параболы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы:

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат

Формула директрисы параболы имеет вид:

Алгоритм расчета

Фокус параболы

Расстояние от точки фокуса (F) до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.

Чтобы составить уравнение директрисы, нужно знать фокальный параметр.

Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси.

Примеры решения задач

Задача №1

Решение

Сравнив каноническое уравнение с данным, получим:

Уравнение директрисы — \(х\;=\;-\frac р2.\)

В данном случае оно будет выглядеть так:

Задача №2

Найти директрису параболы, заданной уравнением \(4х^2\;-\;12х\;+\;y\;+\;6\;=\;0.\)

Решение

Преображаем многочлен, находим полный квадрат относительно переменной х:

В старой системе координат уравнение директрисы:

Источник

Парабола

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2px\label
$$
при условии \(p > 0\).

Из уравнения \eqref вытекает, что для всех точек параболы \(x \geq 0\). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции \(y=ax^<2>\). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством \(2p=a^<-1>\).

Фокусом параболы называется точка \(F\) с координатами \((p/2, 0)\) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением \(x=-p/2\) в канонической системе координат (\(PQ\) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Расстояние от точки \(M(x, y)\), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+\frac

<2>.\label
$$

Вычислим квадрат расстояния от точки \(M(x, y)\) до фокуса по координатам этих точек: \(r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>\) и подставим сюда \(y^<2>\) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=\left(x-\frac

<2>\right)^<2>+2px=\left(x+\frac

<2>\right)^<2>.\nonumber
$$
Отсюда в силу \(x \geq 0\) следует равенство \eqref.

Заметим, что расстояние от точки \(M\) до директрисы также равно
$$
d=x+\frac

<2>.\nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Для того чтобы точка \(M\) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка \(M(x, y)\) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
\sqrt<\left(x-\frac

<2>\right)^<2>+y^<2>>=x+\frac

<2>.\nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет \(\varepsilon=1\). В силу этого соглашения формула
$$
\frac=\varepsilon\nonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\), лежащей на ней. Пусть \(y_ <0>\neq 0\). Через точку \(M_<0>\) проходит график функции \(y=f(x)\), целиком лежащий на параболе. (Это \(y=\sqrt<2px>\) или же \(y=-\sqrt<2px>\), смотря по знаку \(y_<0>\).) Для функции \(f(x)\) выполнено тождество \((f(x))^<2>=2px\), дифференцируя которое имеем \(2f(x)f'(x)=2p\). Подставляя \(x=x_<0>\) и \(f(x_<0>)=y_<0>\), находим \(f'(x_<0>)=p/y_<0>\) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=\frac

>(x-x_<0>).\nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что \(y_<0>^<2>=2px_<0>\). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).\label
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив \(y_ <0>\neq 0\), уравнение \eqref превращается в уравнение \(x=0\), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение \eqref справедливо для любой точки на параболе.

Касательная к параболе в точке \(M_<0>\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет \(M_<0>\) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Рассмотрим касательную в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\). Из уравнения \eqref получаем ее направляющий вектор \(\boldsymbol(y_<0>, p)\). Значит, \((\boldsymbol, \boldsymbol_<1>)=y_<0>\) и \(\cos \varphi_<1>=y_<0>/\boldsymbol\). Вектор \(\overrightarrow>\) имеет компоненты \(x_<0>=p/2\) и \(y_<0>\), а потому
$$
(\overrightarrow>, \boldsymbol)=x_<0>y_<0>-\frac

<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+\frac

<2>).\nonumber
$$
Но \(|\overrightarrow>|=x_<0>+p/2\). Следовательно, \(\cos \varphi_<2>=y_<0>/|\boldsymbol|\). Утверждение доказано.

Заметим, что \(|FN|=|FM_<0>|\) (см. рис. 8.12).

Источник

Парабола: формулы, примеры решения задач

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

,

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Источник

Парабола, каноническое уравнение. Эксцентриситет и директриса параболы

Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p. Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине. Каноническое уравнение параболы имеет вид: y = 2px.

Уравнение директрисы: x = −p/2,
где p − параметр параболы.

Эксцентриситет: Координаты фокуса: F(p/2, 0) Координаты вершины M(0, 0)

Общее уравнение параболы Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, где B 2 − 4AC = 0.

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси Oy: Ax 2 + Dx + Ey + F = 0 (A ≠ 0, E ≠ 0),
или в эквивалентной форме: y = ax 2 + bx + c, p = 1/(2a)

Уравнение директрисы: y = y₀ − p/2, где p − параметр параболы.

Уравнение директрисы y = −p/2, где p − параметр параболы.

Координаты фокуса: F(0, p/2) Координаты вершины: M(0, 0)

Источник

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

Получаем алгоритм построения параболы:

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Источник