Что такое динамичная система

Динамическая система

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюция во времени которых однозначно определяется начальным состоянием.

Содержание

Введение

Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Определение

Пусть — произвольное гладкое многообразие.

Динамической системой, заданной на гладком многообразии , называется отображение , записываемое в параметрическом виде , где , которое является дифференцируемым отображением, причём — тождественное отображение пространства . В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство образует группу преобразований топологического пространства , а значит, в частности, для любых выполняется тождество .

Из дифференцируемости отображения следует, что функция является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство , которое в носит название фазового пространства, называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы.

Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории.

Способы задания динамических систем

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство , множество моментов времени и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Фазовые потоки

Пусть фазовое пространство представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости . Тогда траектория точки будет решением автономного дифференциального уравнения с начальным условием . Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

Каскады

Пусть — произвольное множество, и — некоторое отображение множества на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством и множеством моментов времени . Действительно, будем считать, что произвольная точка за время переходит в точку . Тогда за время эта точка перейдет в точку и т. д.

Если отображение обратимо, можно определить и обратные итерации: , и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени .

Примеры

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость , где — скорость точки . Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

Вопросы теории динамических систем

Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать ее траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

Источник

Динамические системы и их типы

Динамические системы

Люди принимают решения, которые изменяют мир вокруг. Собираем информацию о реальном мире с использованием новой информации, а также пересматриваем наше понимание мира и решений, принятых для подведения восприятия состояния системы ближе к целям.

Продолжить исследование можно только в случае обращения к новому шагу, который заключается в исследовании систем, их понимании и описании того, ка эта система функционирует, что с ней происходит, а также что происходит с окружающей средой в процессе реализации конкретной цели. Логично предположить, что подход к описанию, степень подробного описания происходящих процессов и многое другое может быть совершенно различными. Но их объединяет одно правило, которое является общим для всех и оно гласит, что нужно отражать поведение систем, описывать происходящие изменения, последовательность этапов операций действий, а также причинно-следственные связи.

Динамические системы – это системы, в которых со временем происходят какие-либо изменения.

Обязательно нужно сделать акцент на то, что в русском языке термин «динамический» не имеет единого смысла. В данной случае он использован как обозначение любых изменений во времени.

Типы динамики

Существует всего два типа динамики системы:

Функционирование системы – это все процессы, которые протекают в системе, а также во всей окружающей её среде, которая стабильно реализует фиксированную цель, например, часовой механизм, работа метро или станка на заводе.

Развитие системы – это процессы, которые происходят с системой при изменении её целей.

Характеризует развитие факт существования структуры, которая перестаёт отвечать требованиям новой цели, а для того, чтобы обеспечить её новой функцией необходимо изменить структуру, а иногда даже и состав системы, или вовсе перекроить всю систему.

Не нужно утверждать, что система всегда находится в стадии развития, или в состоянии функционирования.

При реконструкции одного цеха другие находятся в стадии функционирования или развития. Следовательно, в целом система развивается.

Даже при большой реконструкции или при полной перестройки системы некоторые её элементы могут активно функционировать, а в новой работать точно также. Также стоит заметить, что существуют и такие системы, которым для функционирования необходимы подсистемы в процессе постоянного развития.

Источник

Лекция четвертая. Динамическая система

Что такое «динамическая система»?Динамическая система является моделью какой-либо реальной физической, химической, биологической, социальной или любой другой системы. Для того чтобы определить динамическую систему, необходимо:

1. Задать набор величин (переменных), однозначно характеризующих состояние системы.

2. Задать правило (оператор эволюции), по которому, зная текущее состояние системы, можно определить (предсказать) ее состояние в следующий момент времени.

Динамические системы являются видом математических моделей, отражающих мировоззренческий принцип детерминизма.

С понятием «динамическая система» тесно связаны понятия «фазовое пространство». Например, предположим, что нужно рассмотреть эволюцию системы домашняя кошка. В качестве переменных величин, характеризующих эту систему, выберем рост кошки и вес кошки. Сначала, будучи котенком, кошка имеет небольшой рост и вес (см. точку 0 на рис. 4.1). Затем, по мере взросления, рост и вес кошки увеличиваются (точки 1–4), и кошка достигает «расцвета сил» (точка 5). После этого рост кошки уже не изменяется, а вес уменьшается (точки 6­–9).

Рис. 4.1. Зависимость роста и веса кошки от времени

Этот же самый процесс можно изобразить по-другому: отложить по одной оси рост, а по другой — вес кошки (рис. 4.2). Тогда каждая точка на плоскости (рост; вес) будет однозначно характеризовать состояние системы «домашняя кошка». Верно и обратное — каждое состояние рассматриваемой системы можно представить точкой на этой плоскости. Таким образом, имеет место взаимно однозначное соответствие между состоянием, в котором находится кошка, и точкой на плоскости (рост; вес). Такая плоскость, по осям координат которой откладываются переменные величины, характеризующие состояние системы, называется фазовой плоскостью. Если бы переменных величин, характеризующих состояние системы, было бы не две, а больше (скажем, три), то речь шла бы не о фазовом пространстве.

Рис. 4.2. Фазовая плоскость с фазовой траекторией для динамической системы домашняя кошка

Сначала, когда кошка является маленьким котенком, ее рост и вес невелики (точка 0 на рис. 4.1). На фазовой плоскости изображающая точка находится в этот момент времени около начала координат (точка 0 на рис. 4.2). Затем, когда кошка взрослеет, изображающая точка двигается по фазовой плоскости в сторону больших значений роста и веса (точки 2–5, рис. 4.2). Когда кошка начинает стареть, ее рост практически не изменяется, а вот вес уменьшается, поэтому изображающая точка двигается по фазовой плоскости так, что ее координата «рост» остается постоянной, а координата «вес» неуклонно уменьшается (точки 5–9, рис. 4.2). Линия, по которой двигается изображающая точка, называется фазовой траекторией. Таким образом, фазовая траектория характеризует эволюцию системы с течением времени, каждая точка фазовой траектории соответствует определенному состоянию системы в тот или иной момент времени. И если на графиках зависимости переменных, характеризующих состояние системы от времени, течение времени проявляется в том, что нужно рассматривать все большее значение по оси абсцисс (по горизонтальной оси), то на фазовой плоскости ход времени проявляется в движении изображающей точки по фазовой плоскости.

Среди динамических систем можно выделить два больших класса: динамические системы с дискретным и непрерывным временем.

Динамические системы с дискретным временем.Иногда достаточно знать состояние системы не в каждый момент времени, а только в некоторые определенные моменты времени. Например, вы положили в банк 10 тыс. руб. под 10% в месяц. Тогда, через месяц у вас на счету будет 11 тыс. руб., через 2 месяца — 12 100 руб. и т.д. В течение месяца сумма не изменяется. Следовательно, нет необходимости указывать сумму в каждый момент времени. Достаточно знать сумму на начало каждого месяца. Зависимость суммы вашего вклада S от времени t будет иметь вид, приведенный на рис. 4.3. Иными словами, для того, чтобы описать систему «счет в банке», необходимо указать сумму вклада лишь в определенные моменты времени. В этом случае время t не изменяется непрерывно, а принимает конечный набор значений t = 1 месяц, 2 месяца и т.д. Говорят, что время t принимает дискретный набор значений, оно (время) является дискретным. Системы, для описания которых используется переменная времени, принимающая дискретный набор значений, называются системами с дискретным временем.

Рис. 4.3. Зависимость суммы вклада от времени

Можно записать, что

(4.1)

где х_n+1 — переменная величина, характеризующая состояние системы в n-й момент дискретного времени, f(x) — некоторая функция (оператор эволюции), которая позволяет по известному состоянию системы в n-й момент дискретного времени однозначно определить (предсказать) ее состояние в следующий (n + 1)-й момент дискретного времени.

Существует еще один способ графического представления того, как ведет себя переменная S. Для этого нужно отложить не зависимость суммы S от времени t, а зависимость суммы вклада в (n + 1)-й момент дискретного времени S_n+1 от суммы вклада в предыдущий n-й момент дискретного времени S_n. Фактически, нужно построить график функции f(S). Поведение системы с дискретным временем приведено на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Диаграмма Ламерея для задачи о банковском счете: 1 – S_n+1 = f(S_n); 2 – S_n+1 = S_n (прямая, идущая под углом 45%)

Динамические системы с непрерывным временем.Такие динамические системы часто называют потоковыми системами. В этом случае значение переменной времени изменяется непрерывно, и в любой момент времени можно определить значения переменных величин, характеризующих динамическую систему. Для динамических систем с непрерывным временем оператором эволюции служат обыкновенные дифференциальные уравнения:

х — единственная переменная, которая характеризует рассматриваемую динамическую систему. Эта переменная изменяется с течением времени — в таких случаях говорят, что она зависит от времени t (t — независимая переменная), или что она является функцией времени x = x(t). Как быстро изменяется с течением времени переменная x, характеризуется производной:

Если переменная x увеличивается с течением времени, то значение производной x'(t) является положительным, если x уменьшается с течением времени — производная оказывается отрицательной. Чем быстрее изменяется переменная x с течением времени, тем больше по модулю оказывается значение производной.

На рис. 4.5 представлена зависимость величины x, характеризующей состояние системы, от времени t.

Рис. 4.5. Зависимость переменной x от времени имеет вид: x(t) = (t – 2) 2 /2 + 1. В различные моменты времени t производная принимает различные значения

Дифференциальное уравнение «устроено» следующим образом: в него входят производные, а также переменные величины. Дифференциальное уравнение показывает, как связаны производные и их величины между собой. Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида:

Рис. 5.10. Распределение землетрясений разной силы во всем мире (с 1990 года), происходящих в среднем за год

Таким образом, следует сделать вывод о том, что колебания оказываются явлением, часто встречающимся в системах самой различной природы. Понятно, что разные системы изучаются разными науками: социальные системы исследуются историей, экономикой, социологией, политологией и т.д., механические или, например, электрические — механикой и физикой, земная кора — геологией, численность популяций — биологией, колебательные химические реакции — химией, изменения температуры или климата — метеорологией и т.п. Теория колебаний пытается взглянуть на разнообразные колебательные явления с единой точки зрения, выявить общие закономерности, свойственные колебательным системам.

В качестве подтверждения общности явлений в системах различной природы рассмотрим два графика (рис. 5.11), взятые из статьи Г. Г. Малинецкого Хаос. Тупики, парадоксы, надежды. На первом приведена зависимость индекса Доу-Джонса от времени перед Великой депрессией в США, а на втором — зависимость концентрации газа от времени перед землетрясением. Безусловно, эти две системы (человеческое общество и земная кора) совершенно различны, но, по всей видимости, существуют общие универсальные закономерности, обуславливающие одинаковый вид двух различных кривых перед событиями, качественно меняющими состояние систем. Синергетика стремится выявить подобные общие закономерности, возникающие в разных системах, и описывать их на своем языке, близком к языку математики.

Рис. 5.11. Колебания: а) логарифма индекса Доу-Джонса от времени перед Великой депрессией 1929 года; б) концентрации ионов хлора в родниках перед землетрясением в Кобе в 1995 году

Лекция шестая. Волны

Что такое волна?Волной называется явление распространения колебаний в пространстве. Физический энциклопедический словарь: волны — возмущения, распространяющиеся с конечной скоростью в пространстве и несущие с собой энергию. без переноса вещества (хотя последний может иметь место как побочное явление). Самое главное в этом определении то, что волны переносят энергию без переноса вещества.

Более общее определение понятия волны может прийти из рассмотрения нефизических ситуаций. Вот одна из страниц русской истории — 25 апреля 1742 года. В этот день состоялась коронация императрицы Елизаветы, дочери Петра I, на русский престол. Будущая императрица пожелала, чтобы момент возложения патриархом короны на ее голову был отмечен в новой столице России — Петербурге — выстрелом пушки Петропавловской крепости. Но по тогдашним законам коронация русских царей происходила в Москве в Успенском соборе. Радио и телевидения не было. Но способ реализации желания Елизаветы нашли. На всем примерно шестьсот пятидесяти километровом пути от собора в Москве до крепости в Петербурге на расстоянии прямой видимости (примерно сто метров) друг от друга выстроили солдат. Понадобилось приблизительно шесть тысяч пятьсот человек; в руке у каждого был флажок. В момент, когда корона коснулась головы Елизаветы, первый солдат взмахнул флажком, следующий повторил его действия, затем последовательно все остальные. Минут через десять-двадцать известие о коронации дошло до артиллериста в Петропавловской крепости, поскольку время реакции человека составляет десятые доли секунды. Спрашивается: что же переместилось из Москвы в Петербург?

Любой из солдат стоял на своем месте; правда, каждый взмахнул флажком. На языке науки действия солдата (поднял и опустил руку с флажком) означает изменение его состояния, или фазы. Именно это изменение состояния (фаза) и перемещалось вдоль цепи солдат. Тогда можно дать следующее весьма общее определение волны.

Перемещение в пространстве изменения состояния (фазы) называется волной.

Свойства волн.

1. Перенос энергии. Волны, как и всякий движущийся объект, переносят энергию в процессе всего распространения.

2. Волна обладает импульсом. Подобно движущимся частицам, волны обладают импульсом.

3. Скорость волны. Поскольку волна распространяется в пространстве от одной точки к другой, то она обладает скоростью. В физике скорость характеризует быстроту изменения наблюдаемой величины и определяется отношением изменения этой величины к длительности отрезка времени, за которое это изменение произошло. Так, если речь идет о скорости движения точки вдоль некоторой оси координат X, изменение координаты ΔХ делят на время Δt и, устремляя величину Δt к нулю, находят скорость точки.

Но при рассмотрении волн не все так просто. Давайте рассмотрим фотографию волн от капли, упавшей в воду (рис. 6.1). От капли, возмущающей только очень малую область поверхности воды, начинают расходиться круги, а в центре быстро расширяющейся системы кругов образуется область спокойной воды. Для анализа этой сложной картины невозможно обойтись без рассмотрения волны, которой в чистом виде нет в природе. Это — бесконечная гармоническая волна, описываемая формулой:

где у — величина возмущения, распространяющегося в пространстве (для волны на поверхности воды – это отклонение точки поверхности по вертикали, для электромагнитной волны — интенсивность электрического или магнитного полей, для волны эпидемии — число заболевших и т.д.); а — постоянная амплитуда волны; (ωt – kx+ ϕ) – фаза волны; ω — постоянная частота (ω = 2π/Т, Т — период волны); k = 2π/λ — постоянное волновое число (λ — длина волны); ϕ — начальная фаза (рис. 6.2).

Рис. 6.1. Волны, расходящиеся от капли, упавшей на поверхность жидкости

Рис. 6.2. Изображение формы синусоидальной (гармонической) волны в пространстве «время — координата — размах колебаний». На рисунке показаны такие важные характеристики волны, как временной период (период колебаний Т), пространственный период (длина волны λ), амплитуда волны

Следуя физическому определению скорости (6.1), проведем следующие простые рассуждения. Пусть мы наблюдаем за распространением гармонической волны как на рис. 6.3, на котором показан профиль волны в два момента времени, разделенных интервалом Δt. Как видно из рисунка, волна распространяется вправо так, что за время Δt она прошла путь Δx. Начало и конец этого пути отмечен на рис. 6.3. стрелками (для удобства мы следили за распространением максимума волны). По аналогии с формулой (6.1) под скоростью волны можно понимать величину v = Δx/Δt.

Рис. 6.3. К введению фазовой скорости волны

Из рис. 6.3 следует, что значения функции у, описывающей профиль волны, одинаковы в начале и конце пути, следовательно, с учетом формулы (6.2) можно записать:

Последнее означает, что когда нас интересует скорость гармонической волны, то нас интересует выполнение условия постоянства фазы волны: wt – kx + ϕ = const. Дифференцируя в соответствии с определением (6.1) это выражение по времени, находим выражение для скорости гармонической волны:

Cкоростm волны (6.3) называется также фазовой скоростью v_ф.

Будут ли волны с разными частотами ω (разными длинами волн λ) распространяться с одной скоростью v_ф? Оказывается, что в зависимости от положительного или отрицательного ответа на данный вопрос мы имеем дело либо с отсутствием, либо, наоборот, с наличием дисперсии в среде, в которой распространяется волна. Дисперсию волн характеризует соотношение между частотой и волновым числом волны:

которое в теории волн принято называть дисперсионным уравнением. Если дисперсионное уравнение линейно, т.е. имеет вид:

(ω₀ есть некоторая константа), то говорят об отсутствии дисперсии в среде. Очевидно, что в этом случае все волны распространяются с одной фазовой скоростью. Другое дело, если зависимость (6.5) нелинейная. Тогда говорят о наличии в среде дисперсии, и волны с разными частотами (длинами волн) распространяются с разной фазовой скоростью.

Определение скорости волны не ограничивается понятием фазовой скорости. Если дисперсионное уравнение волны таково, что вторая производная от функции ω = ω(k):

то вводят новую характеристику волнового движения, которую называют групповой скоростью:

Каков физический смысл понятия групповой скорости? Для ответа на этот вопрос рассмотрим суперпозицию двух гармонических волн со слабо отличающимися частотами и волновыми числами, но одинаковой амплитуды. График суммарной волны у, возникшей в результате сложения двух гармонических волн, показан на рис. 6.4. Из него видно, что результатом биений двух волн оказывается ряд периодически повторяющихся групп, причем такое повторение проявляется как во времени, так и по пространству. Каждая такая группа состоит из нескольких волн.

Рис. 6.4. Графическая интерпретация возникновения групп (биений) при сложении двух гармонических волн

Напомним, что фазовая скорость волны есть величина v_ф = ω/k. Поскольку и v_ф и v_гр зависят от k, то понятно, что в случае, когда d 2 ω/dk 2 ≠ 0, групповая скорость отличается от фазовой. При этом волны с различной длиной волны распространяются с различными групповыми скоростями. Как влияет дисперсия в системе на распространение возмущения, представляющего собой суперпозицию (сумму) ряда гармонических волн различной длины (волновой пакет)? Поскольку компоненты возмущения с различными волновыми числами (различными длинами волн) распространяются с различными скоростями, начальное возмущение через некоторое время растянется на некоторый пространственный интервал, который будет расти со временем. В этом случае мы имеем дело с диспергирующей волной. Если d 2 ω/dk 2 = 0, то волна не диспергирующая и v_ф = v_гр. В последнем случае при распространении волнового пакета искажение не наблюдается за счет того, что все волны, составляющие пакет, распространяются с одной скоростью.

Волны на воде.Океанские волны разделяют по их периоду.

Приливные волны, образование которых связано с притяжением Луны и Солнца, — самые длинные; их длина (теоретически) составляла бы половину окружности земного шара, если бы не мешали материки, а период этих волн от двенадцати до двадцати четырех часов. В открытом море это — линейные волны из-за большой длины, а нелинейность проявляется лишь у берега.

Цунами (рис. 6.5) — волны подводных землетрясений или извержений вулканов с периодом от десяти минут до часа. В открытом море цунами — линейная волна, но в береговой зоне высота волны возрастает иногда до десятков метров.

Бор (рис. 6.6) образуется при вхождении прилива в устье реки или пролив; передний склон волны представляет собой резкий перепад высотой до нескольких метров.

Ветровые волны – наиболее характерный тип движения на поверхности моря. В них выделяют зыбь с периодом 6–16 с, волнение с периодом 5–12 с и мелкие ветровые волны с периодом 1–4 с.

Наконец, капиллярные волны — рябь — имеют в воде длину, меньшую 1,7 см. На рис. 6.7 приведен спектр реального морского волнения.

Рис. 6.5. Пример волны цунами, возникающей в Тихом океане за счет извержения подводных вулканов

Рис. 6.6. Когда сильный прилив проходит много километров по мелководью, фронт приливной волны становится все круче. Он может образовывать бору, т.е. подвижную форму гидравлического прыжка. На левом рисунке показана бора на реке Цяньтан. На правом рисунке показана волновая бора на Амазонке.

Рис. 6.7. Спектр реального морского волнения

Океанологические эксперименты последних лет показали, что течений, которые рисуют на картах в виде широких рек, в действительности не существует. Основная кинетическая энергия океана сосредоточена в громадных медленно передвигающихся океанических вихрях, подобных циклонам и антициклонам в атмосфере. Правда, если усреднить все движения вихрей за много месяцев, то получится нечто вроде известных всем океанических течений.

Нелинейные волны.Выше мы рассматривали преимущественно линейные волны. Однако, как существуют нелинейные колебания, так существуют и нелинейные волны, поведение которых описывается нелинейными уравнениями. Мир нелинейных волн богат и разнообразен. Но и в нем есть свои эталонные модели, подобные эталонным моделям теории колебаний. Среди них — простые волны, ударные волны и уединенные волны — солитоны.

В линейной среде без дисперсии любая бегущая волна является стационарной, т.е. при распространении форма ее не меняется и она движется с постоянной скоростью. Причем все физические переменные в такой волне связаны алгебраически. Даже в слабо нелинейной среде при отсутствии дисперсии все гармоники, порождаемые нелинейностью, находятся в синхронизме с основной волной (все они распространяются с одинаковыми скоростями). Поэтому, спустя достаточно большое время, даже при очень слабой нелинейности, амплитуда их будет нарастать, что приведет к существенному изменению профиля волн, т.е. в нелинейных средах без дисперсии стационарных волн не бывает. На спектральном языке сказанное означает, что спектр исходного возмущения будет непрерывно расширяться в сторону больших частот. В результате в спектре волны появляются бесконечно высокие частоты, что и соответствует возникновению бесконечно быстрых перепадов на фронте волны.

Раскаты и грохот грома, особенно вблизи грозовых разрядов — одни из самых сильных звуков, известных в природе. Еще больше бед приносят землетрясения, во время которых из-за разрыва земной коры под действием сдвига внезапно высвобождается механическая энергия, что приводит к возникновению волн нескольких типов. Эти волны распространяются по поверхности земли и под землей.

Результатом подводного землетрясения являются цунами, вызывающие страшные разрушения. Цунами кажутся «безобидными» в открытом море, где их высота не превышает 30 см. Но расстояние между гребнями может достигать сотен километров, так что в цунами сосредоточена огромная масса воды, движущаяся иногда со скоростью 180 км/ч. Цунами замедляются на скалистой прибрежной отмели, их высота достигает несколько десятков метров.

0,1 Па. В то время как звуковые удары, вызываемые современными сверхзвуковыми самолетами, во много раз сильнее и составляют

Уединенные волны (солитоны).Наблюдал и первым описал солитон великий инженер викторианской эпохи Джон Скотт Рассел более ста пятидесяти лет тому назад. И хотя это описание уже стало столь же распространенным, как и описание солдат, шагающих по мосту, оно столь поэтично и ярко, что трудно удержаться от его изложения. Вот какую картину рисует Рассел:

Источник