Что такое диаметрально противоположные точки

Нет, прямая линия не всегда является самым коротким расстоянием между двумя точками. Наименьшее расстояние между двумя точками зависит от геометрии объекта/поверхности. Для плоских поверхностей линия действительно является кратчайшим расстоянием, но для сферических поверхностей, таких как Земля, расстояния по большому кругу на самом деле представляют собой самое короткое расстояние.

Как оказалось, это утверждение лишь отчасти правдиво. Самое короткое расстояние между двумя точками на самом деле зависит от геометрии рассматриваемого объекта.

Большое расстояние круга

Большое расстояние круга не новая концепция; на самом деле, многие из вас уже видели это в действии.

Люди, которые путешествовали по воздуху или только проверяли маршруты полета, вероятно, заметили, что рейсы не следуют прямым путем, а вместо этого берут изогнутый маршрут к месту назначения. Изогнутые маршруты не используются для того, чтобы выкопать более глубокую яму в карманах пассажиров, а используются потому, что на самом деле они являются самым коротким расстоянием между любыми двумя заданными точками на нашей планете.

Эти изогнутые маршруты часто сбивают с толку, так как маршруты очерчены на плоской двухмерной карте, где прямая линия может показаться наименьшим расстоянием. Однако ни одна двумерная карта Земли не является точной.

Чтобы дать вам понять суть, наша любимая Земля является трехмерным пространством и лучше всего представлена с помощью модели глобуса. Однако, когда пытаешься сравнять сферу с прямоугольной формой, как это делают большинство карт, на первый план выходит вековая дилемма искажений. Большинство прямоугольных карт торгуют формами страны, размерами, промежуточными расстояниями и даже легитимной информацией для удобства понимания.

Представьте, что вы хотите улететь из кишащих крысами глубин Нью-Йорка в город любви, Париж. На глобусе кратчайшее расстояние между двумя городами было бы дугой примерно 3630 миль, но та же самая дуга, когда она проецируется на 2D-карту, превращается в прямую линию, измеряющую приблизительно 3750 миль.

Чтобы убедиться в этом самим, откройте Google Maps на соседней вкладке и найдите Нью-Йорк. Найдя его, щелкните правой кнопкой мыши на именном теге и выберите «измерить расстояние». Затем уменьшите масштаб или прокрутите немного вправо, чтобы найти Париж, и нажмите на него. Следующее расстояние будет представлять собой кривую, представляющую собой кратчайшее расстояние между двумя городами. Нажмите в любом месте на этой кривой, чтобы сделать ключевую фигуру, и перетащите её немного на юг, чтобы преобразовать кривую в прямую линию. Вы можете использовать несколько ключевых кадров, чтобы составить прямую линию между двумя точками. После этого сравните размеры кривой и прямой линии (и приготовьтесь к тому, что ваша реальность будет разрушена!).

Разница между двумя числами (3,750 – 3,630 = 120 миль) может показаться несущественной, но, учитывая тот факт, что Boeing 747 потребляет в среднем 5 галлонов топлива на милю полета, самолет потребует дополнительных (5 галлонов/км × 120 миль =) 600 галлонов (2250 литров), чтобы пройти дополнительное расстояние, что является большим делом и добавит к стоимости билетов на самолет.

Расстояние большого круга в математических терминах

Представьте себе (или просто посмотрите на рисунок ниже), разрезая землю вдоль экватора или полюсов. Результирующие полушария в обоих случаях будут равны, и грани этих полушарий будут иметь тот же диаметр и центр, что и сама сфера (Земля).

Для любых двух не диаметральных точек (положений) на сфере (Земле) существует только один уникальный большой круг, тогда как для диаметральных точек на сфере можно нарисовать бесконечное число больших кругов. Эти точки делят окружность на две дуги; меньшая дуга представляет собой истинное кратчайшее расстояние между двумя точками и называется расстоянием большого круга.

На приведенном ниже изображении точки P и Q являются двумя не диаметральными точками, а дуга PQ представляет собой кратчайшее расстояние между ними (расстояние большого круга). Точки u и v, с другой стороны, известны как противоположные или диаметрально противоположные точки и разделяют большой круг на две идентичные дуги.

Вычисление расстояния большого круга между любыми двумя точками на поверхности сферы требует использования сферической тригонометрии, и хотя мы, возможно, не были знакомы с существованием больших расстояний круга еще в наши школьные годы, всеобщая ненависть к синусам и косинусам хорошо известна.

Как уже говорилось ранее, большие круги находят свое основное применение в дальних путешествиях, в частности в воздушной и морской навигации. Искривленный характер больших окружных расстояний, дополненный вращением нашей планеты, заставляет пилотов и моряков постоянно корректировать свой курс. Поэтому большое расстояние по окружности разбивается на «линии Румба», которые представляют собой постоянное направление.

Сказав все это, даже большие расстояния по кругу не представляют собой истинное кратчайшее расстояние между двумя заданными местоположениями. Расстояния большого круга рассчитываются исходя из предположения, что Земля является идеальной сферой, но планета представляет собой более плоскую сферу с различными значениями радиуса в направлении экватора и полюсов. Значения большого круга, таким образом, имеют допуск около ± 5%.

Тем не менее большие расстояния по окружности сыграли огромную роль в дальних поездках за последние несколько лет и будут продолжать делать это, экономя топливо авиакомпаний и экономя деньги путешественников!

Источник

диаметрально противоположная точка

Смотреть что такое «диаметрально противоположная точка» в других словарях:

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера

Фитоценоз — Лесной фитоценоз Фитоценоз (от греч … Википедия

антипод — антитеза, (диаметрально) противоположная точка, двойник, энантиомер, противоположность, полюс. Ant. типаж Словарь русских синонимов. антипод см. противоположность 1 Словарь синонимов русского языка. Практ … Словарь синонимов

Screeching Weasel — фото Основная информация Жанр Панк рок Поп панк Хардкор панк Годы … Википедия

антипод — Syn: диаметрально противоположная точка Ant: типаж … Тезаурус русской деловой лексики

Небесная сфера — воображаемая вспомогательная сфера произвольного радиуса, на которую проектируются небесные светила; служит для решения различных астрометрических задач. Представление о Н. с. возникло в глубокой древности; в основу его легло зрительное… … Большая советская энциклопедия

Геометрия Римана — Не следует путать с Риманова геометрия. Геометрия Римана (эллиптическая геометрия) одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой… … Википедия

Вертикал — Небесная сфера разделена небесным экватором. Небесная сфера воображаемая вспомогательная сфера произвольного радиуса, на которую проецируются небесные светила: служит для решения различных астрометрических задач. За центр небесной сферы, как… … Википедия

Вертикальная линия — Небесная сфера разделена небесным экватором. Небесная сфера воображаемая вспомогательная сфера произвольного радиуса, на которую проецируются небесные светила: служит для решения различных астрометрических задач. За центр небесной сферы, как… … Википедия

Вертикальный круг — Небесная сфера разделена небесным экватором. Небесная сфера воображаемая вспомогательная сфера произвольного радиуса, на которую проецируются небесные светила: служит для решения различных астрометрических задач. За центр небесной сферы, как… … Википедия

Источник

диаметрально противоположная точка

Смотреть что такое «диаметрально противоположная точка» в других словарях:

диаметрально противоположная точка — Syn: антипод … Тезаурус русской деловой лексики

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера

Фитоценоз — Лесной фитоценоз Фитоценоз (от греч … Википедия

антипод — антитеза, (диаметрально) противоположная точка, двойник, энантиомер, противоположность, полюс. Ant. типаж Словарь русских синонимов. антипод см. противоположность 1 Словарь синонимов русского языка. Практ … Словарь синонимов

Screeching Weasel — фото Основная информация Жанр Панк рок Поп панк Хардкор панк Годы … Википедия

антипод — Syn: диаметрально противоположная точка Ant: типаж … Тезаурус русской деловой лексики

Небесная сфера — воображаемая вспомогательная сфера произвольного радиуса, на которую проектируются небесные светила; служит для решения различных астрометрических задач. Представление о Н. с. возникло в глубокой древности; в основу его легло зрительное… … Большая советская энциклопедия

Геометрия Римана — Не следует путать с Риманова геометрия. Геометрия Римана (эллиптическая геометрия) одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой… … Википедия

Вертикал — Небесная сфера разделена небесным экватором. Небесная сфера воображаемая вспомогательная сфера произвольного радиуса, на которую проецируются небесные светила: служит для решения различных астрометрических задач. За центр небесной сферы, как… … Википедия

Вертикальная линия — Небесная сфера разделена небесным экватором. Небесная сфера воображаемая вспомогательная сфера произвольного радиуса, на которую проецируются небесные светила: служит для решения различных астрометрических задач. За центр небесной сферы, как… … Википедия

Вертикальный круг — Небесная сфера разделена небесным экватором. Небесная сфера воображаемая вспомогательная сфера произвольного радиуса, на которую проецируются небесные светила: служит для решения различных астрометрических задач. За центр небесной сферы, как… … Википедия

Источник

Что такое диаметрально противоположные точки

Сейчас сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолётов, космических кораблей, которые по звёздам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность.

Гипотеза: некоторые свойства сферического треугольника совпадут со свойствами Евклидова треугольника.

Цель: целью настоящего исследования является изучение понятий и фактов сферической геометрии треугольника и сравнение их с обычной евклидовой геометрией треугольника.

Для достижения цели исследования нам необходимо было решить ряд задач:

Изучить основные понятия сферической геометрии треугольника.

Проанализировать и сравнить понятия сферической евклидовой геомет­рии треугольника

Доказать ряд теорем евклидовой геометрии треугольника (в том числе, теорему синусов и косинусов) для сферического треугольника.

На основе полученных знаний решить задачи по теме сферической геометрии.

Разработать памятку сравнения сферической и неевклидовой геоетрии.

Структура работы обусловлена целью исследования. Работа состоит из двух частей: в первой приводится общая теория о сфере, понятие сферического треугольника, сферические теоремы синусов и косинусов, двойственная теорема косинусов

Во второй части работы я рассмотрела решения задач на применение рассмотренных теорем, а также задачи практического характера.

Мне и ученикам, собирающимся поступать на технические специальности, полезно изучение этой темы, т.к. в вузе она активно используется в программе. Я разработаю сравнительную таблицу сферической геометрии и планиметрии для наиболее ясного восприятия.

Основные понятия сферической геометрии.

Вернусь к вопросу: «Сумма углов какого треугольника равна 181˚37’26’’?». Ответ: Бермудского треугольника (рис. 1). Почему? Потому что он расположен на сфере! Наша Земля имеет форму шара, приплюснутого с полюсов. Современная наука дает название такому телу – геоид. Хотя в переводе с греческого «геоид» переводится, как «нечто, похожее на форму Земли», тем не менее, это остается фактом. Геоид с шаром приближается довольно неплохо. Поэтому, для удобства изучения сферической геометрии, форму нашей планеты принимают за шар, сферу. Вторая оговорка, которую стоит иметь ввиду, в случае работы с сравнительно небольшим участком земли (относительно площади всей поверхности Земли), достаточно плоской геометрии из-за незначительной кривизны. Однако, если речь идет о чем-то глобальном, то дело уже становится существенным и тогда удобно рассматривать сферу, как некий аналог плоскости. Другой подход заключается в том, что можно сказать, что у нас есть пространство и в нем находятся сферы, а все, что находится на сфере, находится в самом обычном традиционном евклидовом пространстве, где существуют законы евклидовой стереометрии.

Поэтому мы будем проводить аналогию между этими геометриями (сферической и планиметрией). Например, точки сферы будут сопоставляться, как точки «плоскости».

Возникает вопрос: что же такое прямые и отрезки на сфере? «Прямая» на сфере – это большой круг, окружность, которая проходит через диаметрально противоположные точки, или сечение сферы плоскостью проходящее через ее центр (экватор и меридианы, важно: не стоит путать с тропиками, они не проходят через диаметрально противоположные точки).

Вот основные аксиомы про прямые в сферической геометрии.

Через две точки, не являющимися диаметрально противоположными, проходит только одна прямая.

Любые две прямые пересекаются в 2 – х диаметрально противоположных точках.

Последнее порождает такую удивительную фигуру, как двуугольник. Это фигура, напоминающая «дольку», состоящая из двух углов.

Есть такие базовые вещи из школьной геометрии, как, например, признаки равенства треугольников (1-й, 2-й и 3-й). Так вот они работают и на сфере. А что происходит на плоскости, когда углы треугольников равны друг другу? На плоскости они подобны. А на сфере? Оказывается, в сферической геометрии такие треугольники также будут равны, ведь подобных треугольников здесь не существует.

Еще одной характеристикой треугольника на сфере будет дефект. Дефект – разница между настоящей суммой и эталонной (такой, как если бы она была, будь треугольник на плоскости). Пусть у нас есть треугольник, где сумма углов равна 270 градусов. На плоскости она составляла бы 180 градусов. А вот разность между суммой на сфере и плоскости и называется дефектом. Т.е.

Снова обратимся к бермудскому треугольнику. Его дефект равен примерно 1,5˚. Треугольник не очень большой, следовательно, дефект тоже маленький.

Дефект треугольника пропорционален его площади (это работает и на плоскости, просто k =0).

Sm = Sm1 + Sm2 ⇒ Dm = Dm1 + Dm2

У двуугольника дефект соответственно равен 2α, т.к. в евклидовой геометрии сумма углов равна нулю.

Из практики, на плоскую карту положить сферу без искажений невозможно. Ведь то, что является прямой на плоскости, на сфере – кривая. Почему? Виной этому, например сумма углов треугольника. В пространстве существуют другие поверхности, где внутренняя геометрия – евклидова. В пример приведу конус, цилиндр. В них локальные фигуры похожи на плоскость, чего нельзя сказать о сфере. В частности, когда мы пытаемся ее изобразить, то получается, допустим, что «прямые2 перестают быть прямыми. Обычно также жертвуют тем, что площади будут искажаться. Так Гренландия окажется больше Австралии (!), что, конечно, ложно.

При изучении сферической геометрии и использовании ее в расчетах на Земле и в космосе сразу возникает интересный вопрос: Как посчитать расстояние между двумя точками на сфере? (К этому вопросу я еще вернусь позднее)

Сферическим расстоянием между двумя точками сферы называется длина кратчайшей из дуг большой окружности, проведенной через эти точки (рис.2).

В случае когда точки А и В диаметрально противоположны, через них можно провести бесконечно много больших окружностей, но все они будут иметь одинаковую длину.

Для сферического расстояния выполняются аксиомы расстояния:

|АВ|>0, причем |АВ|=0 в том случае, когда А = В.

Для любых точек А и В |АВ|=|ВА|.

Определим теперь углы на сфере. Рассмотрим две сферические прямые а и b (рис. 3). Они разбивают сферу на четыре двуугольника подобно тому, как пересекающиеся прямые на плоскости разбивают её на четыре плоских угла. Каждому из двуугольников отвечает один из двугранных углов, образуемых диаметральными плоскостями, содержащими а и Ь.

Сферическая система координат.

Представьте: мы находимся в неизвестной местности, не понимаем наше расположение и, конечно, хотим определить его, т.е. наши координаты. Что мы можем сделать? Созерцать звезды!

Во – первых, надо определить направление на север (на компас лучше не ориентироваться, ведь северный географический и северный магнитный полюс – разные вещи), поэтому ищем Полярную звезду. Полярная звезда располагается в ручке ковша Малой Медведицы и находится в направлении севера с небольшим отклонением. Она светит ярче других светил, поэтому более заметна. Отмечу, что так таковой небесной сферы не существует, однако, для удобства наблюдения звезд, необходимо было их проецировать на некоторую дугу, которая и внемлет точки нашего наблюдения. Земля вертится вокруг своей оси, следовательно изображения звезд тоже движутся для земного наблюдателя, а вот Полярная звезда, из – за расположения в северном центре покоится.

Для дальнейшего исследования необходимо ввести понятие сферической системы координат.

Сферические координаты издавно употреблялись в астрономии, формулы, связывающие сферические координаты с прямоугольными, приведены Ж. Лагранжем (1173), названия сферические координаты предложил Р. Бальтцер (1882).

Соответствие между аксиоматикой сферической геометрии и планиметрии.

1.Любые две различные прямые на сфере пересекаются в диаметрально противоположных точках сферы.

Легко видеть, что утверждение верно и в сферической геометрии: большая окружность разбивает сферу на две открытые полусферы, причем выполнены соответствующие требования.

Проанализировав все планиметрические аксиомы, я выяснила, что некоторые из аксиом выполняются и в сферической геометрии, другие же приходится отбросить.

Сферическую геометрию можно рассматривать как модель геометрии, в которой некоторые обычные аксиомы геометрии не справедливы, то есть как простейшую модель неевклидовой геометрии.

Нужно отметить, что говоря о моделях геометрии, подразумевают некоторое множество точек, вместе с совокупностью выделенных подмножеств этого множества, называемых прямыми. Геометрические модели возникают при изучении геометрических свойств окружающего реального мира; при этом абстрагируются от всяких физических и прочих не геометрических свойств. Так, при изучении геометрии поверхности Земли на сравнительно небольших, «плоских», участках возникла обычная, так называемая евклидова геометрия (планиметрия).

Сравнение аксиом планиметрии и стереометрии представлено в таблице:

Совпадает. Большая окружность разбивает сферу на две открытые полусферы

Каждая прямая есть множество точек

Совпадает. Большие окружности суть множества точек

Для любых двух точек А и В существует единственная содержащая эти точки прямая

Совпадает если точки А и В сферы не являются диаметрально противоположными

Но, для диаметрально противоположных точек А и В существует бесконечно много сферических прямых, содержащих эти точки: пересечение сферы с любой плоскостью, содержащей диаметр АВ, даст такую прямую.

Исходя из поправки о диаметрально противоположных прямых формулируется следующая аксиома:

Любые две различные прямые на сфере пересекаются в диаметрально противоположных точках сферы.

Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Очень важная часть сферической геометрии – тема «Сферический треугольник». Этот простейший сферический многоугольник представляет особый интерес.

Свойства сферического треугольника (рис. 7.).

Первым его ввёл в геометрический обиход и исследовал Менелай из Александрии (I в.). Его труд «Сферика» стал вершиной достижений треков в сферической геометрии. Менелай перенёс на сферу евклидову теорию плоских треугольников и вчисле прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая.

Многие свойства сферического треугольника почти дословно повторяют свойства обычного треугольника. Среди них — неравенство треугольника, которое на языке трёхгранных углов гласит, что любой плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других.

Для сферических треугольников справедливы три известных в планиметрии признака равенства: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по трём сторонам.

На сфере справедлив ещё один признак равенства треугольников — по трём углам.

Подобных, но не равных между собой сферических треугольников не существует.

Понятно, что все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Так, множество точек, равноудалённых от концов отрезка, будет и на сфере перпендикурятной к нему прямой, проходящей через его середину, а отсюда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника АВС, биссектрисы внутренних углов, медианы и высоты имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные общие точки Р и Р’, являющиеся полюсами его единственной описанной окружности. В стереометрии это означает, что около любого трёхгранного угла можно описать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Теоремы о пересечении высот и медиан тоже остаются верными, но их обычные доказательства в планиметрии прямо или косвенно используют параллельность, которой, как мы знаем, на сфере нет, и поэтому проще доказать их заново, на языке стереометрии.

Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричным.

Сравнение признаков Евклидова треугольника и сферического:

Треугольник на плоскости

Признак неравенства треугольников: любой плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других.

Два треугольника называются рав­ными, если их можно совместить наложением.

Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответ­ственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соот­ветственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого тре­угольника, то такие треугольники равны

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сто­ронам другого треугольника, то такие треугольники равны

На сфере справедлив ещё один при­знак равенства треугольников — по трём углам.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольни­ки подобны.

Подобных, но не равных между со­бой сферических треугольников не существует.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а сторо­ны, образующие этот угол, пропор­циональны в равном отношении, то такие треугольники подобны.

Сферическая тригонометрия — математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферического треугольника.

Сферическая теорема синусов

Теорема. Синусы сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих углов.

Перейдем к теореме косинусов, которая гласит:

Косинус одной стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними:

Источник