Что такое действительные коэффициенты

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Действительный коэффициент

Уравнение с действительными коэффициентами может иметь только попарно сопряженные комплексные корни. [31]

Многочлен с действительными коэффициентами в общем случае может иметь как действительные, так и комплексные корни. [33]

Многочлен с действительными коэффициентами всегда разлагается в произведение линейных и квадратичных множителей, коэффициенты которых также действительны. [35]

В этом случае действительный коэффициент усиления по мощности может быть значительно увеличен без изменения оптимального сопротивления нагрузки Ru, соответствующего максимуму выходной мощности, которую можно получить от данного дросселя насыщения. [36]

Конечно, если действительный коэффициент запаса прочности п значительно превышает требуемый ( допускаемый) [ п ], то результат расчета также не может считаться удовлетворительным, так как при этом конструкция неэкономична. [37]

Более точное значение действительного коэффициента преобразования может быть получено на основе термодинамического анализа обратного кругового процесса. [39]

Всякий многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей, соответствующих действительным и комплексным корням. Многочлен разлагается на линейные множители тогда и только тогда, если все его корни действительные. [40]

Это уравнение с действительными коэффициентами и его решение значительно проще. [42]

Система уравнений с действительными коэффициентами и действительными неизвестными получается для цепей постоянного тока. [43]

Источник

Число действительных корней многочлена с действительными коэффициентами.

До середины XIX века главной задачей алгебры было нахождение формулы для корней уравнения P(x) = 0, где Р – многочлен произвольной степени. Эта задача была полностью решена в работах молодых математиков первой трети XIX века – Э. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) и П. Руффини (1765-1822).

Еще в XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Абель и Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.

Параллельно с этим К. Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). После этого вопрос о вычислении корней многочлена переместился из алгебры в теорию функций и приближенных вычислений.

В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, все больше стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т. д.).

Приведем пример. В XX веке важнейшей задачей человечества стала задача передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т. д.).

Математически сообщение может быть записано в виде последовательности символов (точки и тире в старинной азбуке Морзе, нули и единицы и т. п.), передаваемой по так называемому каналу связи (например, в виде радиосигналов). При передаче возможны искажения, которые при приеме сообщения должны быть исправлены. Была предложена (и активно используется по настоящее время) идея кодирования сообщения – такой его передачи, что после приема-передачи можно было бы обнаружить и исправить случайные ошибки. Основной способ кодирования состоит в следующем. Из последовательности сигналов (например, из цифр 0 и 1) составляется формальный многочлен.

Затем подбирается некоторый фиксированный многочлен Q(x) (кодирующий многочлен) и умножается на P(x). Передается не исходная последовательность сигналов, а последовательность коэффициентов произведения.

Многочлен Q(x) можно подобрать так, что при приеме будут распознаваться случайные ошибки, возникшие при передаче. При этом поиск кодирующего многочлена Q(x) оказался чисто алгебраической задачей, так как эта задача связана с вопросами делимости многочлена и поведения его корней.

В математике, многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

Самые различные проблемы механики, физики и всевозможных отраслей техники сводятся к вопросу о корнях многочленов, притом иногда достаточно высоких степеней. Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Это обстоятельство явилось поводом для весьма многочисленных исследований, имевших целью научиться делать те или иные высказывания о корнях многочлена с числовыми коэффициентами, не зная этих корней. Для многочленов с действительными коэффициентами разрабатываются методы определения числа их действительных корней, границы между которыми эти корни могут находиться, и т. д.

Нужно найти верхнюю границу положительных корней любого многочлена. Пусть дан многочлен f(х) степени n и пусть N ₀ будет верхней границей его положительных корней. Рассмотрим многочлены

и найдем верхние границы их положительных корней.

Для рассмотренного выше многочлена h(х) этот метод дает, ввиду k=2 и

Из многочисленных других методов разыскания верхней границы положительных корней мы изложим еще лишь метод Ньютона. Этот метод более громоздок, чем изложенный выше, но зато дает обычно очень хороший результат.

По формуле Тэйлора :

Применим метод Ньютона к рассматривавшемуся выше многочлену h(х).

Найдем корни многочлена, применяя метод Ньютона. В качестве верхних границ положительных корней соответственно числа 1 и 4, а поэтому нижней границей положительных корней многочлена h(х) служит число =1, верхней же границей отрицательных корней — число (- ).

В данной работе были изучены элементы высшей алгебры, а именно способы отделения и нахождения корней многочленов, решены конкретных примеров многочленов для иллюстрации этих способов.

1 Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М., 2015.

2 Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М., 2019.

3. Гордон В. А., Шмаркова Л. И. Краткий курс математики / Учебное пособие. — Орёл: Орёл ГТУ, 2020.

Источник

Рациональная функция с примерами решения и образцами выполнения

Многочлен (некоторые сведения справочного характера):

где — натуральное число, — постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число называется степенью многочлена.

Корнем многочлена (31.1) называется такое значение (вообще говоря, комплексное) переменной , при котором многочлен обращается в нуль, т. е. .

Теорема:

Если есть корень многочлена , то многочлен делится без остатка на , т. е.

где — многочлен степени .

Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Теорема:

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен -й степени () имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложении многочлена на линейные множители.

Теорема:

Всякий многочлен можно представить в виде

где — корни многочлена, — коэффициент многочлена при .

Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обозначим его через . Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как — также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через . Тогда , где — многочлен (-2)-й степени. Следовательно, .

Продолжая этот процесс, получим в итоге:

Множители в равенстве (31.3) называются линейными множителями.

Пример:

Разложить многочлен на множители.

Решение:

Многочлен обращается в нуль при . Следовательно,

Пример:

Представить выражение в виде произведения линейных множителей.

Решение:

Легко проверить, что

Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретился раз, то он называется корнем кратности . В случае (т. е. корень встретился один раз) корень называется простым.

Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде

если корень имеет кратность , корень — кратность и так далее. При этом , a — число различных корней.

можно записать так:

Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утверждения.

Теорема:

Если многочлен тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Теорема:

Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Например, если , то .

Теорема:

Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители

получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами . В самом деле,

где .

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.

С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.

Теорема:

Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е. многочлен можно представить в виде

При этом , все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.

Примеры разложений (31.5):

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Рациональная функция одной переменной

Рациональной функцией или рациональной дробью называется функция, равная частному от деления двух многочленов:

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя и неправильной — в противном случае. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Пример:

Представить в виде суммы многочлена и правильной
дроби следующую неправильную дробь:

Решение:
Разделив числитель на знаменатель получим в частном в остатке т.е.,

Остаток от деления многочлена на разность можно найти, не выполняя самого процесса деления на основании следующей теоремы.

Теорема Везу:

Остаток от деления многочлена на разность равен значению многочлена при

Пример:

Найти остаток от деления многочлена на двучлен

Решение:
Здесь Поэтому искомый остаток равен:

Некоторые сведения о многочленах

Рассмотрим кратко
некоторые сведения о многочленах, которые понадобятся нам в
дальнейшем.

называется всякое число (действительное или комплексное), которое обращает многочлен в нуль, т.е. такое, что

Пример:

Проверить, что является корнем многочлена

Решение: Действительно:

2. Имеет место следующая теорема, принимаемая без доказательства:

Теорема:

Всякий многочлен степени может быть
представлен в виде произведения множителей вида и множителя при старшей степени т.е

Числа очевидно являются корнями многочлена.

Если в разложении 38.2 раскрыть скобки, то свободный член
многочлена будет равен произведению корней многочлена

Отсюда вытекает следующее правило: Если многочлен имеет
целые корни, то эти корни являются делителями свободного члена.

Так как любое число имеет конечное множество целых делителей, то
это правило позволяет решать алгебраические уравнения степени выше двух при условии, что хотя бы один корень — целое число.

Пример:

Решение:
Если у него есть целые корни, то только Подставив в уравнение, например, получим тождество. Следовательно, на основании теоремы Безу многочлен делится на разность без остатка. Выполнив это деление, получим:

Решив квадратное уравнение

Пример:

Легко проверить, что

Пример:

Многочлен

3. Среди линейных множителей в (38.2) могут быть одинаковые.
Объединяя их, можем записать разложение многочлена на множители в виде:

где все корни различны, и сумма показателей степени равна .

Корни называются кратными корнями многочлена, а именно — корень кратности — корень кратности, — корень кратности

4. Среди корней в разложении (38.2) могут быть комплексное

В алгебре доказывается: если является корнем многочлена кратности то и сопряженное число так же является корнем этого же многочлена той же кратности.

5. Поэтому, если в разложении (38.4) есть множитель то в этом разложении присутствует множитель

Перемножив два множителя, соответствующие комплексным
сопряженным корням, получим (см. 37.7):

Обратите внимание что трехчлен равный сумме двух
квадратов имеет отрицательный дискриминант.

6. Все вышесказанное позволяет сформулировать утверждение:
всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующем виде:

В нем линейные множители соответствуют действительным корням,
а квадратные трехчлены, имеющие по два корня — комплексным корням многочлена.

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Определение:

называются простейшими дробями первого, второго, третьего и
четвертого типов.

В высшей алгебре доказывается следующая теорема, которую мы
принимаем без доказательства:

Теорема:

Правильную рациональную дробь где можно единственным образом
разложить на сумму простейших дробей:

В формуле (38.6) первое многоточие в разложении многочлена на множители соответствует другим, кроме действительным корням, a второе — комплексным.
Из формулы (38.6) следует, что линейным множителям в разложении знаменателя соответствуют дроби I и II типов, а квадратичным множителям соответствуют простейшие дроби III и IV типов.

При этом число простейших дробей, соответствующих данному
множителю, равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби на множители.
Правило разложения правильной рациональной дроби остается
справедливым при любом числе линейных и квадратичных множителей в разложении знаменателя

Рассмотрим два способа нахождения коэффициентов разложения (38.6).

Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод основан
на следующем утверждении, принимаемом без доказательства: если два многочлена тождественно равны, то равны и коэффициенты при
одинаковых степенях неизвестной в обеих частях тождества.
Поэтому приводя в правой части разложения (38.6) к общему
знаменателю, получаем тождественное равенство двух рациональных дробей с равными знаменателями.
Следовательно, числители тождественно равны. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной, получим систему линейных уравнений, относительно неизвестных коэффициентов Рассмотрим примеры.

Пример:

Разложить на простейшие дроби:

Решение:

Приводим правую часть этого тождества к общему знаменателю:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

Можно показать, что эта система всегда имеет единственное решение.
Это решение следующее:

Подставив найденные коэффициенты в разложение (38.7),
окончательно получим:

Пример:

Разложить на простейшие дроби:

Решение:

Приведем правую часть к общему знаменателю:

Приравнивая числители, получаем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж получаем
систему:

Ее решение:

Следовательно, подставив найденные коэффициенты в (38.8), получим:

Метод произвольных значений

Этот метод основан на
утверждении: если два многочлена тождественно то они равны при любом значении независимой переменной где произвольное число.

Поэтому вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях неизвестной в разложении (38.6) можно подставлять туда вместо несколько произвольных чисел.

Этот метод особенно эффективен когда многочлен стоящий в
знаменателе имеет различные действительные корни и в качестве
произвольных значений берутся числа, равные действительным корням знаменателя.

Пример:

Разложить на простейшие дроби функцию из примера (38.7).

Решение:

Ранее, при использовании метода неопределенных
коэффициентов было получено:

Подставим в это тождество последовательно три значения

Опять получаем соотношение (38.7).
Рассмотрим теперь пример, в котором для разложения знаменателя на множители можно использовать операцию извлечения корня из комплексного числа.

Пример:

Разложить на простейшие дроби

Решение:

Многочлен стоящий в знаменателе имеет лишь
комплексные корни, которые мы нашли в лекции 37:

Объединив первую скобку с последней, вторую с третьей, получим:

В соответствии с формулой (38.6) и методом неопределенных
коэффициентов, находим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получим систему уравнений для определения неизвестных

Выразив из первого уравнения С через А, а из последнего D через В и подставив и во второе и третье уравнения системы, получим:

Подставляя найденные значения в (38.8) найдем разложение дроби на простейшие:

Замечание:

Разложение (38.9) многочлена на
множители можно было бы получить и методом неопределенных коэффициентов.
Учитывая, что комплексные корни входят в разложение многочлена на множители как корни квадратных трехчленов вида при запишем: