Что такое демпфирование колебаний

Демпфирование колебаний. Способы гашения колебаний

Термин демпфирование происходит от немецкого слова Dämpfer – глушитель и в современном понимании означает принудительное гашение колебаний либо уменьшение их амплитуды до допустимых пределов [8]. Принудительное гашение колебаний (демпфирование) входит в комплекс действий, направленных на уменьшение интенсивности колебательного процесса объекта виброзащиты. Демпфирование, обычно применяется в тех случаях, когда уравновешивание механизмов и роторов не приносит желаемых результатов или когда колебания возникают вследствие других причин [3]. Для принудительного гашения колебаний в современных машинах используются следующие технические средства: гасители колебаний (демпферы) и виброизоляторы. Остановимся на каждом из них в отдельности.

Демпфер (гаситель колебаний) – устройство для успокоения или предотвращения вредных механических колебаний звеньев машин и механизмов путем поглощения энергии [8].

Демпфер, обеспечивающий затухание колебаний, которые возникают при переходе подвижной части механизма из одного положения в другое, называется успокоителем.

В качестве средств поглощения энергии колебаний используют удары тел (рис.9.22.а, б), сухое трение (рис.9.22.в), трение жидкости или газа при истечении их через специальные каналы (рис.9.22.г, д), электромагнитную индукцию (рис.9.22.е).

В представленных схемах механическая энергия в основном преобразуется в тепловую.

На рис.9.22.а шарик 1 помещен в закрытом гнезде звена 2. При колебаниях звена 2 шарик ударяется о стенки гнезда.

На рис.9.22.б кольцо 1 установлено с зазором на звене 2. При колебаниях звена 2 кольцо 1 ударяется по поверхности звена 2.

На рис.9.22.в звено 2 в виде вала имеет диск 4, прижимаемый к неподвижному звену. При вращательных (крутильных) колебаниях звена 2 диск 4 трется по поверхности неподвижного звена.

На рис.9.22.г при колебаниях штока 2 с поршнем, помещенным в неподвижный цилиндр 6, жидкость перетекает через канал 5 поочередно из одной полости в другую.

На рис.9.22.д при колебаниях массы 2, установленной на упругом сильфоне 9, воздух перетекает из внутреннего пространства сильфона в свободное пространство и наоборот. Сечение канала 8 для перетекания воздуха может регулироваться с помощью винта 7.

На рис.9.22.е диск 11 при вращательных колебаниях вала 2 пересекает магнитные силовые линии поля, созданного магнитом 10. При этом образуются вихревые токи, поглощающие энергию колебаний.

Гасители колебаний применяются в случаях, когда необходимо быстро уменьшить амплитуду колебаний в механической системе.

Выбор типа гасителя определяется характеристиками колебательной системы и ее конструкцией. Наибольшее смягчение ударов и гашение колебаний обеспечивают гидравлические и фрикционные гасители колебаний. Этим объясняется их широкое применение в железнодорожном и автомобильном подвижном составе.

Рассмотрим принцип образования сил сопротивления во фрикционных и гидравлических гасителях колебаний [9].

Во фрикционных гасителях колебаний сила сопротивления создается за счет трения каких-либо элементов гасителя. Такого типа гасители могут создавать или постоянную, или переменную величину сил трения, зависящую от величины и направления перемещения. У фрикционных гасителей сила трения всегда направлена в сторону, обратную скорости перемещения. Таким образом, если сила трения равна F_тр, то сопротивление гасителя , где – величина скорости перемещения, а sign – обозначение знака . Если скорость положительна, то , и наоборот, если скорость отрицательна, то . Таким образом, при положительном направлении скорости перемещения F_гас = – F_тр, а при отрицательном F_гас = + F_тр.

Фрикционные гасители могут создавать силу сопротивления колебаниям постоянной величины вне зависимости от того, в каком направлении происходят перемещения (например, вверх или вниз).

В этом случае, как и было написано выше,

. (9.57)

Примером такого типа гасителей являются дисковые фрикционные гасители, применяемые в моторвагонном подвижном составе.

Имеются гасители, которые создают некоторую постоянную величину сопротивления при движении в одном направлении F_В и также постоянную, но другую величину F_Н при движении в другом направлении.

Наиболее распространены гасители с переменными силами сопротивления, у которых сила трения пропорциональна перемещениям, т.е.

, (9.58)

где z– величина перемещения от положения равновесия колебательной системы;

k₁ – коэффициент пропорциональности, зависящий от конструкции гасителя.

, (9.59)

где j– коэффициент относительного трения фрикционных гасителей колебания;

с – жесткость упругого элемента, параллельно которому присоединен гаситель;

k – коэффициент пропорциональности, показывающий, какую долю усилия при сжатии рессоры на единицу перемещения гаситель преобразует в нормальные давления между трущимися элементами.

К таким гасителям относятся клиновая система в рессорном подвешивании двухосных тележек ЦНИИ-ХЗ грузовых вагонов и листовая рессора в локомотивах. В листовой рессоре трение возникает между листами и тем больше, чем больше сжата рессора.

Особую группу конструкций гасителей составляют гидравлические гасители. У них сопротивление пропорционально скорости перемещения элементов гасителя, т. е.

, (9.60)

где b– коэффициент сопротивления вязкого трения гидравлических гасителей.

Могут быть гидравлические гасители, у которых сопротивление пропорционально квадрату скорости перемещения, т.е.

. (9.61)

Виброизоляция основана на разделении исходной системы на две части и в соединении этих частей посредством виброизоляторов. Одна из частей является защищаемым объектом, а другая – источником возбуждения. Во многих случаях масса одной части существенно превышает массу другой части. Тогда движение тела «большой» массы может считаться независящим от движения тела «малой» массы. Тело «большой» массы называют основанием независимо от того, является ли оно защищаемым объектом или источником возбуждения.

В простейшем случае источник возбуждения и защищаемый объект считаются твердыми телами, движущимися вдоль одной и той же оси. На рис.9.23.а показана динамическая модель машины, установленной на фундаменте. Машина с общей массой m является источником возбуждения, а фундамент – защищаемым объектом. Масса фундамента существенно больше массы машины, и потому он считается основанием. Виброизолятор, помещенный между машиной и фундаментом (основанием), имеет приведенный коэффициент жесткости с и приведенный коэффициент сопротивления b.

Приведенный коэффициент жесткости с определяется из условия равенства потенциальной энергии виброизолятора и эквивалентной пружины и, в общем случае, может быть нелинейной функцией перемещения y, отсчитываемого от положения равновесия, определяемого постоянной составляющей внешней силы F(t). Приведенный коэффициент сопротивления b определяется из условия равенства работ, затрачиваемых на трение в виброизоляторе и в эквивалентном демпфере, и в общем случае также может быть нелинейной функцией перемещения y и скорости .

Обобщенная (приведенная) реакция виброизолятора Q и внешняя сила F(t) направлена вдоль одной и той же оси, совпадающей с направлением перемещения y, и потому виброизолятор называется одноосным.

Уравнение движения источника возбуждения, рассматриваемого как твердое тело, при указанных предположениях имеет вид:

. (9.62)

Назначение виброизолятора в этом случае состоит в уменьшении динамической (переменной) составляющей реакции Q, передаваемой на основание (фундамент) при заданном воздействии переменной силы F(t).

На рис.9.23.б показан другой случай, при котором защищаемый объект представлен как твердое тело с массой m, а источником возбуждения является основание, совершающее колебания по закону s(t). Задача виброизоляции здесь состоит в уменьшении динамической составляющей Q, передаваемой на защищаемый объект.

Уравнение движения защищаемого объекта (механизма или машины) как твердого тела при колебаниях основания имеет вид:

, или . (9.63)

Виброзащитные системы, показанные на рис.9.23, различают по виду возбуждения колебаний. В первом случае (рис.9.23.а) колебания вызываются переменной силой F(t), и возбуждение колебаний называется силовым. Во втором случае (рис.9.23.б) колебания вызываются перемещением основания по заданному закону движения, и возбуждение колебаний называется кинематическим. Уравнение движения (9.63) при кинематическом возбуждении совпадает с уравнением (9.62) при силовом возбуждении, если принять .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что означает термин «демпфирование»?

3. Каково назначение и принцип работы основных типов гасителей колебаний?

4. Что такое виброизоляция? Основные задачи виброизоляции?

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Колебательные случаи

В зависимости от степени демпфирования система демонстрирует различные колебательные режимы и скорости.

Затухающая синусоида

К другим важным параметрам относятся:

Определение коэффициента демпфирования

где уравнение движения системы

а соответствующий критический коэффициент демпфирования равен

Коэффициент демпфирования безразмерен и представляет собой отношение двух коэффициентов одинаковых единиц.

Вывод

Это уравнение является более общим, чем просто система масса-пружина, а также применимо к электрическим цепям и другим областям. Это можно решить с помощью подхода.

Два таких решения для двух значений s, удовлетворяющих уравнению, могут быть объединены для получения общих реальных решений с колебательными и затухающими свойствами в нескольких режимах:

Логарифмический декремент

Как показано на правом рисунке:

Процент превышения

Процент превышения (PO) связан с коэффициентом демпфирования ( ζ ) следующим образом:

И наоборот, коэффициент демпфирования ( ζ ), который приводит к заданному процентному превышению, определяется как:

Примеры и приложения

Вязкое сопротивление

Демпфирование в электрических системах

Электрические системы, работающие с переменным током (AC), используют резисторы для гашения электрического тока, поскольку они являются периодическими. Диммерные переключатели или ручки регулировки громкости являются примерами демпфирования в электрической системе.

Магнитное демпфирование

Кинетическая энергия, вызывающая колебания, рассеивается в виде тепла электрическими вихревыми токами, которые индуцируются при прохождении через полюса магнита катушкой или алюминиевой пластиной. Другими словами, сопротивление, вызванное магнитными силами, замедляет работу системы. Примером применения этой концепции в реальном мире являются тормоза на американских горках.

Источник

Теория и механизмы демпфирования в механике конструкций

Если ударить по стеклянной или металлической чаше, то она будет издавать затухающий со временем звон. В мире без демпфирования этот звон продолжался бы вечно. В реальности же, благодаря нескольким физическим процессам, кинетическая энергия и (потенциальная) энергия упругой деформации чаши переходят в другие формы энергии. В этой статье мы обсудим, как описывать демпфирование в моделях и какие физические явления его вызывают затухание в вибрирующих механических системах.

Как математически описывается демпфирование?

Есть несколько математических подходов к описанию и учету демпфирования. Давайте кратко резюмируем самые популярные из них.

Самое заметное проявления демпфирования — падение (затухание) амплитуды свободных колебаний со временем, как, например, в случае с «поющей» чашей. Скорость ослабления амплитуды зависит от того, насколько большое демпфирование в системе. Обычно амплитуда колебаний экспоненциально затухает со временем. В таком случае потери энергии за период пропорциональны амплитуде колебаний (на этом периоде).

Классическая «поющая» чаша. Изображение предоставлено Sneharamm0han — собственное произведение. Доступно по лицензии CC BY-SA 4.0 на Викискладе.

Давайте начнем с уравнения движения для системы из одной степени свободы с вязким трением в отсутствии внешних нагрузок.

Разделив на массу m, мы получим отнормированное уравнение, которое обычно записывают в виде

Здесь \omega_0 — это собственная частота недемпфированных колебаний, а \zeta — относительный коэффициент демпфирования (damping ratio).

Чтобы движение было периодическим, относительный коэффициент демпфирования должен оставаться в диапазоне 0 \le \zeta Амплитуда свободных колебаний в этой системе будет падать пропорционально множителю

где T₀ — период колебаний без затухания.

Затухание свободных колебаний с тремя разными значениями относительного коэффициента демпфирования.

В данном контексте существует еще один часто используемый критерий — это логарифмический декремент δ. Это логарифм отношения амплитуд в двух последовательных периодах:

Связь между логарифмическим декрементом и относительным коэффициентом демпфирования следующая:

Еще одним случаем, когда эффект демпфирования играет ключевую роль, является возбуждение в конструкции гармонических колебаний на частоте, близкой к собственной частоте системы. При точном резонансе амплитуда колебаний будет стремиться к бесконечности, пока не будет учитываться демпфирование. Фактическая амплитуда в резонансе фактически определяется величиной такого демпфирования.

Частотный (резонансный) отклик системы с одной степенью свободы при различных относительных коэффициентах демпфирования.

В таких системах, как резонаторы, мы хотим добиться как можно большего усиления. С этим связан еще один критерий, описывающий демпфирование — добротность (Q-factor). Добротность можно определить как усиление в резонансе. Она связана с относительным коэффициентом демпфирования:

Другой формализм математического описания демпфирования построен на предположении о наличии некого фазового сдвига между приложенной силой и итоговым смещением, или, другими словами, между напряжением и деформацией. Обсуждение таких фазовых сдвигов целесообразно только в случае установившихся гармонических колебаний. Если построить график зависимости напряжения от деформации для полного периода, вы увидите эллипс — петлю гистерезиса.

Кривая нагружения.

В таком варианте можно представить свойства материала как комплекснозначные величины. Для одноосной линейной упругой деформации комплексное соотношение между напряжением и деформацией можно записать в виде

Действительная часть модуля Юнга в этом соотношении называется модулем накопления (storage modulus), а мнимая часть — модулем потерь (loss modulus). Модуль потерь обычно описывают через коэффициент гистерезисных потерь (loss factor) η, а именно:

В этом выражении E совпадает с модулем накопления E’. Можно встретить и другое определение, в котором за E обозначается отношение между амплитудой напряжения и амплитудой деформации, то есть

Это различие важно только при больших значениях коэффициента гистерезисных потерь. Эквивалентной метрикой является тангенс угла потерь, а именно

Угол потерь δ определяет фазовый сдвиг между напряжением и деформацией.

Демпфирование, заданное через коэффициент гистерезисных потерь, несколько отличается от случая вязкого демпфирования. Гистерезисные потери пропорциональны амплитуде смещений, а вязкое демпфирование пропорционально скорости. Таким образом, эти величины невозможно однозначно связать друг с другом.

На рисунке ниже сравнивается отклик системы с одной степенью свободы при использовании двух разных моделей демпфирования. Можно заметить, что модель вязкого демпфирования предсказывает более сильное затухание на частотах выше резонансной по сравнению с моделью через коэффициент гистерезисных потерь и более слабое затухание на частотах ниже резонансной.

Сравнение динамического отклика для модели вязкого демпфирования (сплошные линии) и для модели через коэффициент гистерезисных потерь (пунктирные линии).

Сравнение динамического отклика для модели вязкого демпфирования (сплошные линии) и для модели через коэффициент гистерезисных потерь (пунктирные линии) в системе с двумя степенями свободы.

Концепцию коэффициента гистерезисных потерь можно обобщить, определив его через энергию. Можно показать, что в вышеописанной модели материала энергия, рассеиваемая за один период, равна

где \varepsilon_a — амплитуда деформации.

Схожим образом, максимальная энергия упругой деформации за период равна

Коэффициент гистерезисных потерь тогда можно записать через энергетические величины:

Это определение через рассеянную энергию можно использовать, даже если петля гистерезиса не выглядит как идеальный эллипс; достаточно лишь иметь возможность определить две эти энергетических величины.

Источники демпфирования

Физических механизмов демпфирования огромное множество. Во всех естественных процессах энергия так или иначе рассеивается.

Внутренние потери в материале

Во всех реальных материалах энергия рассеивается при деформации. Можно считать это разновидностью внутреннего трения. Обратите внимание, что кривая нагружения для полного периода не укладывается на идеально прямую линию. Она больше похожа на вытянутый эллипс.

Обычно для описания демпфирования в материале применяется модель через коэффициент гистерезисных потерь, так как на опыте оказывается, что потери энергии за период слабо зависят от частоты и амплитуды. При этом математическое описание в модели коэффициента потерь основано на комплексных величинах, то есть подразумевает только случай гармонических колебаний. Поэтому эту модель демпфирования можно использовать только для исследований в частотной области.

Коэффициенты гистерезисных потерь в материале могут сильно различаться в зависимости от точного состава материала и источников данных, которыми вы пользуетесь. В таблице ниже приведены некоторые грубые оценки.

Коэффициенты потерь и схожие модели демпфирования используются, если физические механизмы затухания в материале неизвестны или не важны в контексте рассматриваемой задачи. В некоторых моделях материала, например, в вязкоупругих материалах, рассеивание энергии изначально заложено в математическую модель.

Трение в соединениях

Конструкции часто соединяются болтами или другими типами креплений. Если при колебаниях соединенные поверхности двигаются относительно друг друга, энергия рассеивается через трение. Если величина силы трения не меняется за период, потери энергии за период слабо зависят от частоты. В этом смысле трение схоже с внутренними потерями в материале.

Болтовые соединения широко распространены в задачах механики конструкций. Величина рассеиваемой в болтовых соединениях энергии может сильно зависеть от конструкции. Если важно снизить потери, болты должны плотно прилегать друг к другу и быть хорошо затянуты, чтобы уменьшить макроскопическое проскальзывание между поверхностями.

Излучение звука

Вибрирующая поверхность будет приводить в движение окружающий воздух (или другую среду) и испускать звуковые (акустические) волны. Эти волны уносят часть энергии, из-за чего конструкция теряет энергию.

Излучение звука преобразователем типа Tonpilz.

Анкерные потери

Часто небольшой компонент крепится к большой конструкции (основанию/подложке), которая не включается в расчетную модель. Когда деталь вибрирует, в несущей конструкции возникают упругие волны, также являющимися источником рассеяния энергии. В контексте микроэлектромеханических систем (МЭМС), этот эффект называют анкерные потери (anchor losses).

Термоупругое демпфирование

Даже если в процессе совершенно упругой деформаций энергия не рассеивается, деформация материала слегка изменяет его температуру. Локальное растяжение приводит к снижению температуры, а сжатие — к нагреву.

Это принципиально обратимый процесс, так что при снятии напряжения температура вернется к исходному значению. Однако часто в поле напряжения есть ненулевые градиенты, которым соответствуют градиенты распределения температуры. Они вызывают тепловые потоки от теплых областей к холодным. Когда по ходу цикла нагружения напряжение «убирают», распределение температуры уже отличается от того, что было при нагрузке. Поэтому локальный возврат к исходному состоянию невозможен. Это приводит к рассеиванию энергии.

Термоупругое демпфирование (thermoelastic damping) важно при исследовании высокочастотных колебаний на малых масштабах. Например, оно может значительно снизить добротность микроэлектромеханических резонаторов.

Демпферы и гасители

Иногда в конструкцию включают специализированные выделенные гасители колебаний, например, рессоры в подвеске колес.

Рессоры. Автор изображения — Avsar Aras, собственное произведение. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 на Викискладе.

Естественно, такие компоненты сильно влияют на суммарное демпфирование, по крайней мере, для некоторых мод колебаний.

Сейсмогасители

Особое внимание искуственному демпфированию колебаний уделяется при строительстве в сейсмоопасных районах. Чрезвычайно важно снизить амплитуду колебаний в зданиях при землетрясении. При этом гасители могут как изолировать здание от фундамента, так и рассеивать энергию.

Сейсмогасители в общественном здании. Изображение предоставлено Shustov — собственное произведение. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 на Викискладе.

Продолжение

Во второй части данной серии вы сможете найти информацию о том, как задавать демпфирование в COMSOL Multiphysics®.

Источник