Что такое делитель нуля

Делители нуля

В абстрактной алгебре, ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0.

Правый делитель нуля определяется аналогично: ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ba = 0.

Элемент, который является и правым и левым делителем нуля одновременно называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно тогда правые и левые делители совпадают. Ненулевые элементы кольца, которые не являются ни правыми, ни левыми делителями нуля называются обычными элементами.

Пример: в кольце элементы 2, 3, 4 — делители нуля.

Ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Внешние ссылки

Смотреть что такое «Делители нуля» в других словарях:

Делитель нуля — В абстрактной алгебре ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0. Аналогично, ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ba = 0 … Википедия

АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… … Энциклопедия Кольера

ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — гиперкомплексные числа вида a+bе, где аи b действительные числа, и для двойных чисел е 2= + 1, а для дуальных чисел е 2=0. Сложение Д. и д. ч. определяется формулой Умножение двойных чисел производится по формуле а дуальных чисел по формуле… … Математическая энциклопедия

Двойные числа — О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа гиперкомплексные числа вида « », где и вещественные… … Википедия

Процедура Кэли — Диксона (процедура удвоения) это рекурсивная процедура построения алгебр над полем вещественных чисел, с удвоением размерности на каждом шагу. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона. Эта процедура позволяет построить комплексные числа,… … Википедия

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — Альтернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо, в к ром каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо; альтернативной алгеброй (А. а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно теореме Артина класс всех А. к. задается системой тождеств … Математическая энциклопедия

АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно … Математическая энциклопедия

ВИТТА КОЛЬЦО — поля k, кольцо типов квадратичных форм над k, кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для… … Математическая энциклопедия

ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА — группы G над полем K ассоциативная алгебра над полем К, элементами к рой являются всевозможные формальные конечные суммы вида а операции определяются формулами: (в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается… … Математическая энциклопедия

Источник

Кольца, тела, поля

Определение 2.5. Кольцом называют алгебру сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для любых выполняются равенства:

Операцию называют сложением кольца, операцию умножением кольца, элемент — нулем кольца, элемент — единицей кольца.

Равенства 1–7, указанные в определении, называют аксиомами кольца. Рассмотрим эти равенства с точки зрения понятия группы и моноида.

Связь между сложением кольца и умножением кольца устанавливает аксиома 7, согласно которой операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения.

Замечание 2.2. В литературе встречается иной состав аксиом кольца, относящихся к умножению. Так, могут отсутствовать аксиома 6 (в кольце нет 1) и аксиома 5 (умножение не ассоциативно). В этом случае выделяют ассоциативные кольца (к аксиомам кольца добавляют требование ассоциативности умножения) и кольца с единицей. В последнем случае добавляются требования ассоциативности умножения и существования единицы.

Определение 2.6. Кольцо называют коммутативным, если его операция умножения коммутативна.

Пример 2.12. а. Алгебра есть коммутативное кольцо. Отметим, что алгебра кольцом не будет, поскольку — коммутативный моноид, но не группа.

в. Алгебра — коммутативное кольцо, что следует из свойств пересечения и симметрической разности множеств.

г. Пример некоммутативного кольца дает множество всех квадратных матриц фиксированного порядка с операциями сложения и умножения матриц. Единицей этого кольца является единичная матрица, а нулем — нулевая.

д. Пусть — линейное пространство. Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих в этом пространстве.

Основные аксиомы и тождества кольца

Аксиомы кольца называют также основными тождествами кольца. Тождество кольца — это равенство, справедливость которого сохраняется при подстановке вместо фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые из них.

Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания.

Теорема 2.8. В любом кольце выполняются следующие тождества:

Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем

т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары доказывается аналогично.

Первые два тождества из доказанных в теореме 2.8 выражают свойство, называемое аннулирующим свойством нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выражает свойство дистрибутивности операции умножения кольца относительно операции вычитания. Таким образом, производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умножении действительных чисел.

Кольца и делители нуля

При отличных от нуля и приведенные матрицы являются делителями нуля.

Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е. существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю.

Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом, коммутативное тело — полем, а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению — мультипликативной группой этого тела (поля). Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами поля.

б. Алгебры и есть поля, называемые полями действительных и комплексных чисел соответственно.

в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернион.

Итак, мы видим, что известным законам сложения и умножения чисел соответствуют аксиомы поля. Занимаясь числовыми расчетами, мы «работаем в полях», а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чисел, иногда «переселяемся» в поле комплексных чисел.

Источник

Делитель нуля

В абстрактной алгебре ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0.

Аналогично, ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ba = 0.

Элемент, который одновременно является и правым, и левым делителем нуля, называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно, то понятия правого и левого делителя совпадают. Ненулевой элемент кольца, который не являются ни правым, ни левым делителем нуля, называется обычным элементом.

Пример: в кольце элементы 2, 3, 4 — делители нуля.

Ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Делитель нуля» в других словарях:

ДЕЛИТЕЛЬ НУЛЯ — в кольце или полугруппе с нулем ненулевой элемент, произведение к рого на некоторый ненулевой элемент равно нулю. Элемент аназ. левым (соответственно правым) Д. н., если ab=0(соответственно bа=0 )хотя бы для одного О. А. Иванова … Математическая энциклопедия

Делитель (значения) — Делитель (математика) Наибольший общий делитель Делитель нуля в абстрактной алгебре Делитель единицы Делитель напряжения Делитель тока Делитель мощности Делитель комбинационное логическое устройство в электронике Делитель потока дроссельный или… … Википедия

Делитель — Делимость одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связаное с операцией деления. Содержание 1 Определение 2 Обозначения 3 Связанные определения … Википедия

Делители нуля — В абстрактной алгебре, ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0. Правый делитель нуля определяется аналогично: ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если… … Википедия

Наибольший общий делитель — двух или нескольких натуральных чисел наибольшее из чисел, на которые делится каждое из данных чисел. Например, Н. о. д. 45 и 72 есть 9, Н. о. д. 60, 84, 96 и 120 есть 12. Н. о. д. пользуются при сокращении дробей: наибольшее число, на… … Большая советская энциклопедия

0 (число) — 0 Нуль (ноль) 3 · 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 Целые числа У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль. 0 (ноль, нуль от лат. nullus никакой) целое число, разделяющее на числовой прямой … Википедия

Деление на ноль — Функция y = 1/x. Когда x стремится к нулю справа, y стремится к бесконечности. Когда x стремится к нулю слева, y стремится к минус бесконечности … Википедия

АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… … Энциклопедия Кольера

Источник

ДЕЛИТЕЛИ НУЛЯ, СТРУКТУРЫ ДЕЛИТЕЛИ НУЛЯ И ВЫБОРОЧНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СИСТЕМ

Согласно проведенным исследованиям делителем нуля некоторой заданной матрицы A называется такая матрица, произведение которой с матрицей A тождественно равно нулю. Механизм действия делителей нуля основан на использовании линейной зависимости столбцов (правый делитель) и строк (левый делитель) матрицы A.

где – нулевая матрица размера ().

Итак, нулевое значение произведения матриц обусловлено тем, что используются соответствующие комбинации только линейно зависимых столбцов. Если матрица A не содержит линейно зависимых столбцов, то у нее не может быть правого делителя нуля. У матрицы, имеющей только линейно независимые столбцы, правый делитель нуля равен нулевой матрице (нулю).

Левые матричные делители нуля обладают следующими свойствами:

умножение на обратимую матрицу S

умножение на произвольную матрицу 

нильпотентная конструкция матриц индекса 2 с произвольной матрицей 

делители нуля произведения матриц с сохранением ранга

делители нуля произведения матриц с понижением ранга

обратимость сводной матрицы

Правые матричные делители нуля обладают следующими свойствами:

умножение на обратимую матрицу S

умножение на произвольную матрицу 

нильпотентная конструкция матриц индекса 2 с произвольной матрицей 

делители нуля произведения матриц с сохранением ранга

делители нуля произведения матриц с понижением ранга

обратимость сводной матрицы

Первые три свойства очевидны и проверяются непосредственным вычислением, например,

Свойства «c» предоставляют возможность при формировании делителей нуля без ущерба для общности результата в качестве ненулевых элементов записывать различные фиксированные числа, например единицы. Произвольность матричных множителей  и  с любым (подходящим по контексту) числом строк и столбцов соответственно порождает всю совокупность элементов класса. Можно сказать и иначе. Для левого матричного делителя нуля максимального ранга: линейные комбинации его строк порождают все другие левые матричные делители нуля. Для правого матричного делителя нуля максимального ранга: линейные комбинации его столбцов порождают все другие правые матричные делители нуля.

Свойство «g» связано со следующим. Во-первых, число линейно независимых строк левого делителя нуля (столбцов правого делителя нуля) прямоугольной матрицы всегда дополняет число столбцов (строк) этой матрицы до числа строк (столбцов). Во-вторых, строки левого делителя (столбцы правого делителя) такой матрицы и строки (столбцы) самой матрицы всегда в совокупности линейно независимы.

где  – произвольная матрица соответствующего размера.

Рассмотрим сейчас структуру делителей нуля.

В силу сказанного для матриц изоморфизмов делители нуля не существуют, точнее, существуют только нулевые делители нуля.

Эпиморфная матрица в канонических базисах не содержит ни одной нулевой строки, но имеет нулевых столбцов. Таким образом, у эпиморфизмов отсутствуют левые делители нуля, но могут быть сформированы правые делители нуля, использующие нулевых столбцов, которые по определению линейно зависимы, или столько же их линейных комбинаций.

Правый канонический делитель нуля максимального ранга для матрицы с простейшей (канонической) структурой имеет вид

Этот делитель имеет линейно независимых столбцов (единичный блок) и m нулевых строк.

По аналогии можно придти к выводу, что мономорфизмы с матрицами в канонических базисах не имеют правых делителей нуля, а их канонические левые делители нуля представлены матрицами вида

Для общего (гомоморфного) случая характерно наличие левых и правых делителей нуля одновременно. Им соответствуют следующие канонические записи: для правых делителей нуля

и для левых делителей нуля

Теперь можно вернуться к проблеме выборочной эквивалентности.

где  и  – произвольные матрицы соответствующих размеров. В то же время не вызывает сомнения неравенство

Таким образом, выборочная эквивалентность систем

Долгополова А.Ф.,Гулай Т.А.,Литвин Д.Б.Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2.//Международный журнал экспериментального образования.2012. № 2. С. 81-82.

Косьянчук В.В.,Константинов С.В.,Колодяжная Т.А.,Редько П.Г.,Кузнецов И.П.Перспективный облик отказоустойчивых цифровых систем управления маневренных ЛА//Полет.2010. № 2.

Долгополова А.Ф.,Гулай Т.А.,Литвин Д.Б.,Мелешко С.В.Теория вероятностей и математическая статистика//Международный журнал экспериментального образования. 2012. № 11.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Делитель нуля и обратный элемент

Последний раз редактировалось Manticore 26.09.2013, 21:50, всего редактировалось 1 раз.

Здравствуйте! Есть пара вопросов по заданию: «докажите, что если элемент кольца имеет обратный относительно умножения, то он не является делителем нуля».

Во-первых, не могу понять, что, собственно, есть делитель нуля. Ясно, что это , если и . Но когда это возможно? Я так думаю, что должен быть принцип, схожий с принципом множеств: мол, есть множество , тогда , но я всё равно ничего не понимаю.
Как бы то ни было, пытался доказать так:


, т.е. является обратным элементом для нуля, что невозможно.
Верно ли это?

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Manticore 26.09.2013, 21:53, всего редактировалось 1 раз.

mihailm
Слова «всякий» нет в задании, извините. Без нуля, конечно.

whitefox
Понятно! Спасибо.

Или, вообще, получается так:



Противоречие.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось provincialka 26.09.2013, 22:30, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Здравствуйте! Есть пара вопросов по заданию: «докажите, что если элемент кольца имеет обратный относительно умножения, то он не является делителем нуля».

Во-первых, не могу понять, что, собственно, есть делитель нуля. Ясно, что это , если и . Но когда это возможно?

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Я бы не стал вмешиваться, но меня заинтриговало отсутствие реакции помогающих на загадочный «принцип множеств». Вдруг я чего-то не знаю? (Т.е. я, разумеется, чего-то не знаю. Но вдруг на самом деле имеется какой-то «принцип множеств»).

Заслуженный участник

В моём примере получилось, что существует только числа, и ни , ни не дадут , может, я просто неправильно выражаю мысли.

Извините, что пропал, не было возможности зайти на форум.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Manticore 29.09.2013, 15:34, всего редактировалось 1 раз.

Но ведь ?

Tookser


Думаю, что так. Вроде разобрался.
Спасибо всем.

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник