Что такое декада частот
Логарифмические частотные характеристики
Пусть задана частотная передаточная функция
то есть логарифм W(jω) – это комплексное выражение, где действительная часть– ln модуля, а мнимая часть – фаза.
Для практических целей удобно пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ). Для построения ЛАЧХ находится величина
L(ω) – измеряется в децибелах [дБ]. Бел – это такое усиление, когда мощность увеличивается в 10 раз (1Б=10дБ), 2 Бела – усиление в 100 раз. Крупные единицы: декабелы, гектобелы и т. д. Мелкие единицы: децибелы, сантибелы и т. д.
По оси абсцисс откладывается частота ω в логарифмическом масштабе, то есть наносятся отметки, соответствующие lgω, а около них пишется само значение частоты ω, [рад/с].
Единицами измерения lgω являются октава и декада.
Декада– это интервал частот, заключенный между произвольным значением ω и 10ω. lg10ω −lgω =lg10=1, то есть отрезок между ω и 10ω не зависит от абсолютного значения ω.
Октава– интервал частот, заключенный между произвольным значением ω и 2ω.
lg2ω−lgω=lg2, тоже не зависит от абсолютного значения ω. Практически для нанесения логарифмического масштаба можно пользоваться выражением:
Логарифмические характеристики обладают двумя ценными свойствами:
1. ЛАЧХ и ЛФЧХ для произведения вычисляются как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев:
2. В области высоких и низких частот ЛАЧХ асимптотически приближаются к прямым, наклон которых составляет ± 20 дБ/дек (децибел на декаду), ±40 дБ/дек и т.д.
3. Могут быть нанесены на график несоизмеримые значения амплитуды и частоты.
1) Пусть 
, тогда 
Тогда
Наклон в этом случае равен +20дБ/дек
Перевод из дБ в разы (усиление равно сколько-то дБ, это будет в n раз):
Например, если дБ=20, то n=10 1 =1; если дБ=10, то n=10 0,5 = 
Дата добавления: 2016-01-30 ; просмотров: 3755 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Что такое декада частот
Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев
При рассмотрении и сравнение частотных характеристик амплитудных и фазочастотных для устройств различных видов возникает проблема их компактного представления, так как значения амплитуд и частот (см. рис. 1) существенно различаются друг от друга. Кроме того, и сама величина диапазона частот, в котором характеристики конкретного устройства представляют интерес, может быть весьма значительна, от долей герц до десятков мегагерц.
Решение этой проблемы лежит в использовании логарифмических масштабов в частотных характеристиках.
Впервые обратились к логарифмическим масштабам в технике связи, так как там рассматриваются объекты, как с большими коэффициентами усиления, так и объекты которые характеризуются существенным затуханием сигналов.
В технике связи используют понятие коэффициента передачи по мощности для четырехполюсника, показанного на рис. 2,
.
Значительный диапазон изменения этого коэффициента и заставил использовать логарифмическое представление, логарифмический коэффициент передачи по мощности
Логарифмический коэффициент усиления по мощности измеряют специальными единицами, которые носят название Белл (Б).
1 Белл соответствует усилению мощности в 10 раз.
Чаще используют единицу в десять раз меньшую децибел (дБ).
.
При определении логарифмического коэффициента в децибелах, выражение (1) принимает вид
.
Логарифмический коэффициент усиления можно выразить через отношение выходного и входного напряжений при одинаковых нагрузочных сопротивлениях 
.
Такое представление коэффициента усиления используют в теории автоматического управления для измерения амплитуды частотной характеристики в децибелах
По оси частот в теории автоматического управления так же используют логарифмический масштаб на основе десятичного логарифма частоты.
При этом ось частот будет иметь следующий вид
Изменение частоты в десять раз называют декадой. Причем на оси частот, при ее логарифмическом масштабе, принято обозначать значения частоты в рад/с, иногда в герцах, особенно это принято в радиотехнике и в инженерной практике.
Особо отметим, что логарифмическая шкала не имеет нуля и может пересекаться вертикальной осью в любом месте, что особенно важно тем, что дает возможность рассматривать частотные свойства динамических звеньев и конкретных устройств в необходимом диапазоне изменения частот, где характеристика представляет интерес для исследователя.
Теперь дадим определение логарифмическим частотным характеристикам.
Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота в логарифмическом масштабе.
Довольно часто ЛАЧХ И ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта, покажем на рис. 4 примерный вид и оформление ЛАЧХ и ЛФЧХ некоторого инерционного объекта.
Логарифмические частотные характеристики элементарных динамических звеньев
.
,
.
Логарифмические частотные характеристики
Министерство образования Российской Федерации
Балтийский государственный технический университет “Военмех”
Кафедра систем обработки информации и управления
В. Ю. ЕМЕЛЬЯНОВ
Конспект лекций
Санкт-Петербург
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ) L ( w ) определяется путем преобразования амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) A ( w ):
Для логарифмической фазо-частотной характеристики (ЛФЧХ, ЛФХ) используется выражение j ( w ), полученное для обычной фазо-частотной характеристики (ФЧХ).
Очевидно, ЛАХ и ЛФЧХ не содержат новой информации по сравнению с АЧХ и ФЧХ. Целесообразность их получения и использования полностью определяется особыми правилами их построения, предоставляющими широкие возможности для построения удобных и наглядных процедур анализа и синтеза систем управления. Аппарат ЛАХ и ЛФЧХ является основой классической теории линейных непрерывных и дискретных систем.
Необходимо отчетливо представлять себе необходимость точного соблюдения правил построения ЛАХ и ЛФЧХ, так как без этого рассматриваемые характеристики теряют смысл, и их применение с нарушением правил построения приводит к неверным результатам.
На рис.1 выше горизонтальной оси указаны значения частот, ниже оси – их десятичных логарифмов.
Отметим следующие обстоятельства, характерные для используемого логарифмического масштаба:
1. Отрицательные частоты не рассматриваются.
3. Вертикальная ось проводится через отметку частоты, соответствующую нижней границе диапазона существенных частот для изображаемых характеристик.
4. Изменению значения частоты в k раз соответствует отрезок оси постоянной длины независимо от его расположения на оси (то есть абсолютных значений частот).
5. Отрезок горизонтальной оси, соответствующий десятикратному изменению частоты, называется декадой. Длина декады, очевидно, постоянна независимо от ее расположения на оси.
6. В дальнейшем изложении по оси абсцисс откладываются и указываются только значения частоты в логарифмическом масштабе.
На вертикальной оси откладываются в линейном масштабе значения L ( w ) в децибелах. С горизонтальной осью совмещается отметка 0 дБ.
Логарифмическая фазо-частотная характеристика строится совместно с ЛАХ, причем горизонтальная ось у обеих характеристик полностью совпадает, а вертикальная ось для ЛФЧХ совмещается с вертикальной осью ЛАХ следующим образом:
1. Направление положительного отсчета значений ЛФЧХ – вниз.
Рассмотрим некоторые примеры построения логарифмических характеристик, позволяющие обнаружить основные закономерности их формирования.
1. Безынерционное звено:
Характеристики показаны на рис. 2.
,
,
дБ.
Поэтому наклон ЛАХ здесь составляет +20 дБ/дек.
3. Идеальное дифференцирующее звено (общий случай):
,
,
,
.
ЛАХ также будет представлять собой прямую с наклоном +20 дБ/дек и по сравнению с предыдущим примером будет проходить на 20 lgK децибел выше (рис.4).
Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью может быть найдена из условия:
,
откуда 
, 
.
4. Идеальное звено с передаточной функцией 
:
,
,
.
ЛАХ остается прямой линией, но ее наклон по сравнению с предыдущим случаем увеличится в 2 раза (рис. 5).
ЛАХ пересекает горизонтальную ось при 
, 
.
5. Идеальное интегрирующее звено:
,
,
,
.
ЛАХ остается прямой линией (рис.6). Ее приращение при изменении частоты в 10 раз составит:
ЛАХ остается прямой линией (рис.6). Ее приращение при изменении частоты в 10 раз составит:дБ.
дБ.Наклон ЛАХ –20дБ/дек.
Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью может быть найдена из условия:
.
6. Звено с передаточной функцией 
:
,
,
.
ЛАХ – прямая линия, но ее наклон по сравнению с предыдущим примером увеличится в 3 раза и составит –60 дБ/дек (рис.7).
Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью: 
, 
.
7. Звено с передаточной функцией W ( s )= Ts +1:
,
,
,
.
Графики точных логарифмических характеристик показаны на рис.8.
 |
Асимптотическая ЛАХ может быть построена исходя из следующих соображений.
Для рассматриваемого примера получим:
, 
.
Далее рассматриваются два диапазона частот.
.
Соответствующий этому выражению график – прямая, совпадающая с левой частью горизонтальной оси, является асимптотой точной ЛАХ при w ® 0 (рис.9).
.
Асимптотической ЛАХ называется ломаная линия, состоящая из отрезков асимптот точной ЛАХ. Абсолютная величина погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной в рассматриваемом примере достигает максимума на сопрягающей частоте и составляет:
.
По мере удаления от сопрягающей частоты влево или вправо она снижается и на расстоянии 0,3 декады от сопрягающей частоты уменьшится примерно в 3 раза:
.
Также можно показать, что на расстоянии 0,5 декады от сопрягающей частоты погрешность уменьшится более, чем в 7 раз, а на расстоянии более декады от сопрягающей частоты будет пренебрежимо мала.
 |
Полезно знать также следующие численные значения.
8. Апериодическое звено 1-го порядка:
,
,
,
.
Слагаемое 20 l g K на всех частотах является константой. Следовательно, при K ¹ 1 весь график сместится вверх при K > 1 (20 l g K >0), а при K l g K 0).
Оценка погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной аналогична полученной в предыдущем примере (рис.12).
 |
Все результаты, полученные для ЛФЧХ, также сохраняются с учетом противоположного знака (рис. 12).
9. Апериодическое звено второго порядка ( T 1 = T 2 = T ):
,
,
,
.
Сравнивая выражения для ЛАХ, полученные в рассматриваемом и предыдущем примерах, можно сделать вывод о том, что различие в асимптотических ЛАХ будет состоять только в наклоне второго участка. Он увеличится в 2 раза и составит –40дБ/дек.
Максимальная погрешность асимптотической ЛАХ по отношению к точной в соответствии с принципом получения асимптотической ЛАХ также, очевидно, будет иметь место на сопрягающей частоте.
Значение асимптотической ЛАХ на сопрягающей частоте: L ас (1/ T )=20 lgK .
Значение точной ЛАХ на сопрягающей частоте:
.
Абсолютная величина погрешности составит 
дБ.
График ЛФЧХ и закономерности изменения ее значений будут аналогичны предыдущему примеру с учетом масштабного коэффициента 2.
 |
Характеристики показаны на рис.13.
,
,
.
Отметим следующие закономерности:
— величина сопрягающей частоты, разделяющей участки асимптотической ЛАХ, w с =1/ T ,
— первый участок асимптотической ЛАХ горизонтален и проходит на уровне 20 l g K (при K =1совпадает с горизонтальной осью),
— наклон второго участка 20. m дБ/дек,
— абсолютная величина погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной максимальна по сопрягающей частоте и составляет 3. m дБ,
— значение ЛФЧХ монотонно изменяется от 0 ° (при w ® 0) до 90 ° × m (при w ® ¥ ); на сопрягающей частоте ее значение составляет 45 ° × m ; эта точка является точкой симметрии всего графика ЛФЧХ.
10. Колебательное звено:
, 0 x
,
,
,
Рассмотрим построение асимптотической ЛАХ.
Под корнем в выражении для ЛАХ здесь присутствует несколько слагаемых. Тем не менее, принцип построения сохраняется. Сопрягающая частота находится из условия равенства двух слагаемых – содержащих низшую и высшую степень частоты:
, .
.
Это уравнение горизонтальной прямой – асимптоты точной ЛАХ при w ® 0.
.
Закономерность формирования погрешностей асимптотической ЛАХ для колебательного звена является более сложной, чем в предыдущих примерах.
Прежде всего, оценим величину этой погрешности на сопрягающей частоте. Для асимптотической ЛАХ получим:
.
.
Величина погрешности 
зависит от величины x и изменяется от –6 дБ при x ® 1 до сколь угодно больших положительных значений при x ® 0.
Этот эффект обусловлен резонансными свойствами колебательного звена и в общем случае не позволяет при его анализе ограничиваться использованием только асимптотической ЛАХ.
Точные ЛАХ колебательного звена для различных значений x показаны на рис.14.
Из рис.14 видно, что резонансная частота, доставляющая максимум ЛАХ, отличается от сопрягающей. Резонансная частота w р может быть найдена из условия:
.
Общие рекомендации по использованию асимптотической ЛАХ для рассматриваемого примера сводятся к следующему:
.
 |
Логарифмические фазо-частотные характеристики для различных x показаны на рис.15.
Рассмотрим правила построения асимптотических ЛАХ для более сложных передаточных функций на следующем примере:
,
где K =100с-2, T 1 =0.1с, T 2 =10с, T 3 =1с, T 4 =0.01с.
Выражения для АЧХ и точной ЛАХ будут иметь вид:
,
.
Наиболее распространенная в литературе рекомендация сводится к рассмотрению выражения для ЛАХ сложного звена как суммы выражений для ЛАХ рассмотренных выше звеньев, каждому из которых соответствует одна сопрягающая частота. При K =1 график асимптотической ЛАХ такого звена представлял бы собой кусочно-линейную характеристику, состоящую из низкочастотной асимптоты по горизонтальной оси и высокочастотной асимптоты с соответствующим наклоном, пересекающихся на сопрягающей частоте. Если общее выражение для ЛАХ записывать так, чтобы в отдельных слагаемых под знаком логарифма оставались выражения вида 
, то наклоны таких асимптот будут совпадать по величине с коэффициентами при 
. Результирующий график асимптотической ЛАХ может быть получен сложением графиков отдельных слагаемых.
Более удобным является предлагаемый ниже способ (при сохранении сформулированного правила записи выражения для ЛАХ). Он состоит в следующей последовательности действий.
1. Определяются сопрягающие частоты, соответствующие отдельным слагаемым, и записываются в порядке возрастания:
; 
; 
; 
.
2. Выбирается масштаб для оси частот так, чтобы крайние сопрягающие частоты располагались на расстоянии от 0.5 до 1 декады от краев видимой горизонтальной оси. Через сопрягающие частоты проводятся вертикальные пунктирные прямые (рис.16). Пунктирные прямые делят все поле графика на зоны, которым соответствуют отрезки различных асимптот ЛАХ (участки асимптотических ЛАХ). Построение асимптотической ЛАХ далее уже выполняется последовательно по участкам, начиная с первого.
3. Первый участок расположен левее всех сопрягающих частот. Следовательно, его уравнение, получаемое по условию w будет иметь вид:
.
Это уравнение прямой с наклоном –40 дБ/дек. Для ее построения необходимо найти опорные точки. Например:
— w =0.1, L (0.1)=20 l g 100-40 l g 0.1=40+40=80 дБ.
В качестве опорной может также использоваться точка пересечения данной прямой с горизонтальной осью, координаты которой могут быть найдены из условия L ( w 1 )=0:
,
, 
.
Отрезок прямой, выходящий за пределы соответствующего участка, показывают пунктирной линией (рис.17).
Аналогично путем последовательного учета коэффициентов при соответствующих следующим сопрягающим частотам слагаемых в выражении для ЛАХ могут быть получены и наклоны остальных участков (рис.17).
Отметим еще раз, что непосредственное использование коэффициентов выражения для точной ЛАХ для расчета наклонов участков асимптотической ЛАХ возможно только при условии записи этого выражения так, чтобы частота под знаком логарифма имела первую степень.
 |
Поскольку расстояние между сопрягающими частотами в рассматриваемом примере достаточно велико (1 декада) и сомножителя, вызывающего резонанс, в передаточной функции не содержится, погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной будут достигать локальных максимумов на сопрягающих частотах, величины которых будут взаимно-однозначно связаны с величинами изменений наклонов ЛАХ (рис.18).
Рассмотрим следующий пример:
,
где K =200с-2, T 1 =0,08с, T 2 =0,5с, T 3 =20с, T 4 =40с.
Здесь в отличие от предыдущего примера, где вертикальные координаты границ участков ЛАХ определялись достаточно очевидно, для их определения потребуются дополнительные расчеты.
Запишем выражение для точной ЛАХ в соответствии со сформулированными выше рекомендациями:
.
Сопрягающие частоты в порядке возрастания:
; 
; 
; 
.
Первому участку асимптотической ЛАХ соответствует уравнение:
.
Первый участок – прямая с наклоном +20 дБ/дек.
Опорные точки первого участка:
Вертикальную координату границы первого участка можно определить непосредственно по его уравнению:
.
Наклон второго участка 20-20=0 дБ/дек (учитывается коэффициент при слагаемом, соответствующем сопрягающей частоте 1/ T 4 ). Участок горизонтален. Вертикальная координата его правой границы также 14 дБ.
Наклон третьего участка 0-20=-20 дБ/дек (учитывается коэффициент при слагаемом, соответствующем сопрягающей частоте 1/ T 3 ). Длина участка составляет l g 2- l g 0,05 » 0,3-(-1,3)=1,6 дек. Вертикальная координата его правой границы 14-20 × 1,6=14-32=-18 дБ.
Наклон пятого участка –60+20=-40 дБ/дек (учитывается коэффициент при слагаемом, соответствующем сопрягающей частоте 1/ T 1 ).