Брошена игральная кость найдите вероятность того что выпадет нечетное число очков
Решение задач о бросании игральных костей
Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.
Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).
Одна игральная кость
Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?
Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.
Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.
Две игральные кости
Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.
Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:
Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.
Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:
Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).
Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.
Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:
Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).
Другие задачи про кости и кубики
Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.
Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.
В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.
Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.
Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.
Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.
В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.
Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.
Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.
Полезные ссылки
Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.
В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.
Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.
Еще по теории вероятностей:
В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
Разбор задач по теории вероятности кубики и монеты
Содержимое разработки
Типы задач по теории вероятностей, предлагаемых на ОГЭ
с игральным кубиком
Задача 1. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4?
Элементарное событие – число на выпавшей грани .
В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число.
В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу.
Задача2 . Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.
0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно.
Задача 3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до десятых.
1) При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5, а при втором броске выпадет 5 2) При первом броске выпадет 5, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5
5/6 · 1/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события
Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Брошена игральная кость найдите вероятность того что выпадет нечетное число очков
1) Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков? Кавова вероятность выпадения 5 очков по крайней мере на одной кости?
По классической формуле вероятности:
P = m/n, где
m — число благоприятных способов
n — число всех равновозможных способов
Число всех равновозможных способов: n = 6·6 = 36
Благоприятствующие способы заключаются в выпадении 9; 10; 11 или 12 очков. Посчитаем для каждого число способов:
9 очков = <(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)>= 4 способа
10 очков = <(4, 6), (5, 5), (6, 4)>= 3 способа
11 очков = <(5, 6), (6, 5)>= 2 способа
12 очков <(6, 6)>= 1 способ
Значит: m = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
Тогда вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков:
P = m/n = 10/36 = 5/18.
Вероятность выпадения 5 очков на кости равна 1/6. Тогда при подбрасывании двух костей вероятность выпадение 5 очков по крайней мере на одной по теореме о вероятности сумме совместных событий равна:
P = 1/6 + 1/6 − (1/6)·(1/6) = 11/36.
2) Среди 20 лотерейных билетов 5 выигрышных. Наудачу взяли 10 билетов. Определить вероятность того,что среди них 3 выигрышных?
Число всевозможных способов взять 10 билетов равно число сочетаний из 20 по 10, то есть:
n = С¹⁰₂₀ = 20! / (10!·10!) = 184756.
Благоприятствующие способы: m = С³₅ · С⁷₁₅ = [5! / (3!·2!)] · [15! / (7!·8!] = 64350.
P = m/n = 64350 / 184756 = 225 / 646 ≈ 0,348
3) Внутрь круга наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что на каждый малый сегмент попало по одной точке.
По геометрической формуле вероятности:
P = measure(g) / measure(G), где
measure(g) — благоприятствующая мера области
measure(G) — вся мера области
S(круга) = πR²
S(квадрата) = (2R)² / 2 = 4R² / 2 = 2R²
Вероятность попадания в квадрат P = 2R² / πR² = 2/π. Тогда вероятность попадания в сегмент:
q = (1 − p) / 4 = (1 − 2/π) / 4 = (π − 2) / 4π
Вероятность того, что на каждый малый сегмент попало по одной точке, равна:
P = 5! · q⁴ = 5! · [(π − 2) / (4π)]⁴ ≈ 0,008
Брошена игральная кость найдите вероятность того что выпадет нечетное число очков
1) Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков? Кавова вероятность выпадения 5 очков по крайней мере на одной кости?
По классической формуле вероятности:
P = m/n, где
m — число благоприятных способов
n — число всех равновозможных способов
Число всех равновозможных способов: n = 6·6 = 36
Благоприятствующие способы заключаются в выпадении 9; 10; 11 или 12 очков. Посчитаем для каждого число способов:
9 очков = <(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)>= 4 способа
10 очков = <(4, 6), (5, 5), (6, 4)>= 3 способа
11 очков = <(5, 6), (6, 5)>= 2 способа
12 очков <(6, 6)>= 1 способ
Значит: m = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
Тогда вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков:
P = m/n = 10/36 = 5/18.
Вероятность выпадения 5 очков на кости равна 1/6. Тогда при подбрасывании двух костей вероятность выпадение 5 очков по крайней мере на одной по теореме о вероятности сумме совместных событий равна:
P = 1/6 + 1/6 − (1/6)·(1/6) = 11/36.
2) Среди 20 лотерейных билетов 5 выигрышных. Наудачу взяли 10 билетов. Определить вероятность того,что среди них 3 выигрышных?
Число всевозможных способов взять 10 билетов равно число сочетаний из 20 по 10, то есть:
n = С¹⁰₂₀ = 20! / (10!·10!) = 184756.
Благоприятствующие способы: m = С³₅ · С⁷₁₅ = [5! / (3!·2!)] · [15! / (7!·8!] = 64350.
P = m/n = 64350 / 184756 = 225 / 646 ≈ 0,348
3) Внутрь круга наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что на каждый малый сегмент попало по одной точке.
По геометрической формуле вероятности:
P = measure(g) / measure(G), где
measure(g) — благоприятствующая мера области
measure(G) — вся мера области
S(круга) = πR²
S(квадрата) = (2R)² / 2 = 4R² / 2 = 2R²
Вероятность попадания в квадрат P = 2R² / πR² = 2/π. Тогда вероятность попадания в сегмент:
q = (1 − p) / 4 = (1 − 2/π) / 4 = (π − 2) / 4π
Вероятность того, что на каждый малый сегмент попало по одной точке, равна:
P = 5! · q⁴ = 5! · [(π − 2) / (4π)]⁴ ≈ 0,008