Бросают 2 кубика событие что сумма чисел больше 4 является

07.09.202308.09.2023 admin 0 Comments

Решение задач о бросании игральных костей

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Одна игральная кость

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.

Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

Полезные ссылки

Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.

В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.

Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.

Еще по теории вероятностей:

В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Источник

Вероятность игральной кости.

Задачи на вероятность игральной кости не менее популярны, чем задачи о подбрасывании монет. Условие такой задачи обычно звучит так: при бросании одной или нескольких игральных костей (2 или 3), какова вероятность того, что сумма очков будет равна 10, или число очков равно 4, или произведение числа очков, или делится на 2 произведение числа очков и так далее.

Применение формулы классической вероятности является основным методом решения задач такого типа.

Одна игральная кость, вероятность.

Задача 1. Один раз брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

Поскольку игральная кость собой представляет кубик (или его еще называют правильной игральной костью, на все грани кубик выпадет с одинаковой вероятностью, так как он сбалансированный), у кубика 6 граней (число очков от 1 до 6, которые обычно обозначаются точками), это значит, что в задаче общее число исходов: n=6. Событию благоприятствуют только исходы, при которых выпадает грань с четными очками 2,4 и 6, у кубика таких граней: m=3. Теперь можем определить искомую вероятность игральной кости: P=3/6=1/2=0.5.

Задача 2. Брошен один раз игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет не менее 5 очков?

Решается такая задача по аналогии с примером, указанным выше. При бросании игрального кубика общее число равновозможных исходов равно: n=6, а удовлетворяют условие задачи (выпало не менее 5 очков, то есть выпало 5 или 6 очков) только 2 исхода, значит m=2. Далее находим нужную вероятность: P=2/6=1/3=0.333.

Две игральные кости, вероятность.

Задача 3. Брошены одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения суммы менее 5 очков?

Теперь можно заполнить таблицу, для этого в каждую ячейку заносится число суммы очков, которые выпали на первой и второй кости. Заполненная таблица выглядит так:

Благодаря таблице определим число исходов, которые благоприятствуют событию » выпадет в сумме менее 5 очков». Произведем подсчет числа ячеек, значение суммы в которых будет меньше числа 5 (это 2, 3 и 4). Такие ячейки для удобства закрашиваем, их будет m=6:

Учитывая данные таблицы, вероятность игральной кости равняется: P=6/36=1/6.

Задача 4. Было брошено две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение числа очков будет делиться на 3.

Для решения задачи составим таблицу произведений очков, которые выпали на первой и на второй кости. В ней сразу же выделим числа кратные 3:

Записываем общее число исходов эксперимента n=36 (рассуждения такие же как в предыдущей задаче) и число благоприятствующих исходов (число ячеек, которые закрашены в таблице) m=20. Вероятность события равняется: P=20/36=5/9.

Задача 5. Дважды брошена игральная кость. Какова вероятность, что на первой и второй кости разность числа очков будет равна от 2 до 5?

Чтобы определить вероятность игральной кости запишем таблицу разностей очков и выделим в ней те ячейки, значение разности в которых будет между 2 и 5:

Число благоприятствующих исходов (число ячеек, закрашенных в таблице) равно m=10, общее число равновозможных элементарных исходов будет n=36. Определит вероятность события: P=10/36=5/18.

В случае простого события и при бросании 2-х костей, требуется построить таблицу, затем в ней выделить нужные ячейки и их число поделить на 36, это и будет считаться вероятностью.

Источник

Класс: 8

Презентация к уроку

Педагогические технологии: Технология объяснительно-иллюстрированного обучения, компьютерная технология, личностно-ориентированный подход в обучении, здоровьесберегающие технологии.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Продолжительность: 1 урок.

Оборудование урока: компьютер, мультимедиа, маркеры, копи-устройство mimio (или интерактивная доска), конверт ( в нем находится задание для практической работы, домашней работы, три карточки: желтого, зеленого, красного цветов), модели игральных кубиков.

— На предыдущем уроке мы познакомились с формулой классической вероятности.

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.

— Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша. Эта формула применяется для опытов с конечным числом равновозможных исходов.

Вероятность события = Число благоприятных исходов / число всех равновозможных исходов

Таким образом, вероятность – это число от 0 до 1.

Вероятность равна 0, если событие невозможное.

Вероятность равна 1, если событие достоверное.

— Решим задачу устно: На книжной полке стоят 20 книг, из них 3 справочника. Какова вероятность, что взятая с полки книга не окажется справочником?

Общее число равновозможных исходов – 20

Число благоприятных исходов – 20 – 3 = 17

2. Получение новых знаний.

А теперь вернемся к теме нашего урока: “Вероятности событий”, подпишем её в своих тетрадях.

Цель урока: научиться решать задачи на нахождение вероятности при бросании кубика или 2-х кубиков.

Самые древние кости датируются ХХ веком до н. э., обнаружены в Фивах. Первоначально кости служили орудием для гаданий. По данным археологических раскопок в кости играли повсеместно во всех уголках земного шара. Название произошло от первоначального материала — костей животных.

Древние греки считали, что кости изобрели лидийцы, спасаясь от голода, чтобы хоть чем-то занять свои умы.

После падения Римской Империи игра распространилась по Европе, особенно увлекались ей во времена Средневековья. Поскольку игральные кости использовались не только для игры, но и для гадания, церковь неоднократно пыталась запретить игру, для этой цели придумывались самые изощрённые наказания, но все попытки заканчивались неудачей.

Согласно данным археологии, в кости играли и в языческой Руси. После крещения православная церковь пыталась искоренить игру, но среди простого народа она оставалась популярной, в отличие от Европы, где игрой в кости грешила высшая знать и даже духовенство.

Война, объявленная властями разных стран игре в кости породила множество различных шулерских уловок.

В век Просвещения увлечение игрой в кости постепенно пошло на спад, у людей появились новые увлечения, их больше стали интересовать литература, музыка и живопись. Сейчас игра в кости не столько широко распространена.

Правильные кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения грани. Для этого все грани должны быть одинаковыми: гладкими, плоскими, иметь одинаковую площадь, скругления (если они имеются), отверстия должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях равна 7.

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности,- это математический образ правильной кости. Математическая кость не имеет ни размера, ни цвета, ни веса и т.д.

При бросании игральной кости (кубика) может выпасть любая из шести ее граней, т.е. произойти любое из событий— выпадение от 1 до 6 точек (очков). Но никакие две и более граней одновременно появиться не могут. Такие события называют несовместными.

— Рассмотрим случай, когда бросают 1 кубик. Выполним № 2 в виде таблицы.

событие	Число благоприятных исходов	Общее число исходов	вероятность
А: “ выпало число 4”
В: “ выпало число 5”
С: “ выпало число меньше 3”
Д: “ выпало число 8”
Е: “ выпало нечетное число меньше 3”

— Теперь рассмотрим случай, когда бросают 2 кубика.

Если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6.Получим пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи можно представить в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:

Источник

Урок по теме «Решение задач по теории вероятностей»

Разделы: Математика

Тип урока: урок изучения нового материала.

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями вероятности события.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (самостоятельная работа)

Ход урока

I. Организационный момент.

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Определить значимость изучаемого материала, как в данной теме, так и во все курсе.

II. Повторение

1. Что такое вероятность?

Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь.

2. Какое определение дает основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров?

Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях.

3. Какое классическое определение вероятности дают авторы школьных учебников?

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.

Вывод: в математике вероятность измеряется числом.

Сегодня мы с вами продолжим рассматривать математическую модель “игральная кость”.

Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. Каждое осуществление этих условий называют испытанием.

Испытание – бросание игральной кости.

Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков.

Выпадение каждой грани при многократном бросании кубика имеет одинаковую вероятность (игральная кость правильная).

III. Устное решение задач.

1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало 4 очка?

Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все события: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит п = 6. Событию А = <выпало 4 очка>благоприятствует одно событие: 4. Поэтому т = 1. События равновозможные, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому Р(А) = т/п = 1/6 = 0,17.

2. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 4 очков?

Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = <выпало не более 4 очков>благоприятствует 4 события: 1, 2, 3, 4. Поэтому т = 4. Поэтому Р(А) = т/п = 4/6 = 0,67.

3. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?

Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = <выпало менее 4 очков>благоприятствует 3 события: 1, 2, 3. Поэтому т = 3. Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

4. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?

Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = <выпало нечетное число очков>благоприятствует 3 события: 1,3,5. Поэтому т = 3. Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

IV. Изучение нового

Сегодня рассмотрим задачи, когда в случайном эксперименте используются две игральные кости или выполняются два, три броска.

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.

Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором. Множество исходов удобно представить таблицей.

Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы – на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36.

1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Напишем в каждой клетке сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 6.

Таких ячеек 5. Значит, событию А = <сумма выпавших очков равна 6>благоприятствует 5 исходов. Следовательно, т = 5. Поэтому, Р(А) = 5/36 = 0,14.

2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий п = 36.

Событию А = <сумма равна 3>благоприятствуют 2 исходов. Следовательно, т = 2.

Поэтому, Р(А) = 2/36 = 0,06.

3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет более 10 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий п = 36.

Событию А = <в сумме выпадет более 10 очков>благоприятствуют 3 исхода.

Следовательно, т = 3. Поэтому, Р (А) = 3/36 = 0,08.

4. Люба дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

Решение Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет при первом броске, второе – при втором. Множество исходов удобно представить таблицей.

Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска.

Всего событий, при которых сумма очков 9 будет п = 4. Событию А = <при одном из бросков выпало 5 очков>благоприятствует 2 исхода. Следовательно, т = 2.

Поэтому, Р(А) = 2/4 = 0,5.

5. Света дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 1 очко.

Равновозможных исходов – 5.

Благоприятствующих исходов – 2.

Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

6. Оля дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка.

Равновозможных исходов – 4.

Благоприятствующих исходов – 1.

Вероятность события р = 1/4 = 0,25.

7. Наташа и Витя играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу.

Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.

Равновозможных исходов – 5.

Благоприятствующих исходов – 2.

Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

8. Таня и Наташа играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня проиграла.

Равновозможных исходов – 5.

Благоприятствующих исходов – 2.

Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

9. Коля и Лена играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Коля, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Лена не выиграет.

У Коли выпало 3 очка.

У Лены равновозможных исходов – 6.

Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 (при1 и при 2 и при 3).

Вероятность события р = 3/6 = 0,5.

10. Маша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут чётные числа.

У Маши равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216.

Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 · 3 · 3 = 27.

Вероятность события р = 27/216 = 1/8 = 0,125.

11. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

ПерваяВтораяТретьяСумма очков

Равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216.

Благоприятствующих исходов – 6.

Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28. Следовательно, т = 3. Поэтому, Р (А) = 3/36 = 0,08.

V. Самостоятельная работа.

VI. Домашняя работа

VII. Итог урока

Что нужно знать для нахождения вероятности случайного события?

Для вычисления классической вероятности нужно знать все возможные исходы события и благоприятные исходы.

Классическое определение вероятности применимо только к событиям с равновозможными исходами, что ограничивает область его применения.

Для чего в школе изучаем теорию вероятности?

Многие явления окружающего нас мира поддаются описанию только с помощью теории вероятностей.

Источник

Бросают 2 кубика событие что сумма чисел больше 4 является

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 5 очков, равно 4: 2+3, 3+2, 4+1, 1+4. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков, равна

Ответ : 0,11.

Я считая вариантов не 4,а 6,так как 5 и 0 в сумме тоже дадут 5

На игральной кости нет 0.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 6 очков, равно 10: 1 + 1 + 4, 1 + 4 + 1, 4 + 1 + 1, 1 + 2 + 3, 1 + 3 + 2, 3 + 1 + 2, 3 + 2 + 1, 2 + 1 + 3, 2 + 3 + 1, 2 + 2 + 2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6 · 6 · 6 = 216. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков, равна

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.

Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 10 очков, равно 3: 4+6, 5+5, 6+4. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков, равна

Ответ : 0,08.

Ваше решение: Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 10 очков, равно 3: 4+6, 5+5, 6+4. Я думаю, что будет 4 исхода, так как вероятность что выпадет две пятёрки увеличина вдвое т.к. если бы на однок кости была бы пометочка, то можно было бы видеть, что иногда выпадает 5:5. (с точкой) или 5.:5. Поэтому думаю, что будет 4 варианта 4+6, 5+5, 5+5, 6+4

Максим Ваше рассуждение ошибочно.

Если на одной из костей была бы «пометочка», то вариант 5.:5. невозможен.

Вариант «две пятерки» возможен только в одном случае, если на первом кубике выпадает пятерка и при этом на втором кубике тоже выпадает пятерка.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.